Номер 11.15, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.15. Постройте график функции $y = -\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$.

Для построения графика функции $y = -\tg x \cdot \ctg x$ необходимо сначала найти ее область определения, а затем упростить выражение.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция тангенс $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть $ \cos x = 0 $. Это происходит при $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $.

Функция котангенс $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть $ \sin x = 0 $. Это происходит при $ x = \pi k, k \in Z $.

Объединяя эти два условия, получаем, что исходная функция не определена в точках, где $ x = \frac{\pi m}{2} $ для любого целого числа $ m $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in R, x \neq \frac{\pi m}{2}, m \in Z $.

2. Упрощение функции и построение графика.
На всей области определения справедливо тригонометрическое тождество $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $. Используя его, упрощаем нашу функцию:

$ y = -(\tg x \cdot \ctg x) = -1 $.

Это уравнение задает горизонтальную прямую, проходящую через значение $ y = -1 $.

Однако, необходимо учесть область определения. Поскольку функция не определена в точках $ x = \frac{\pi m}{2} $, на прямой $ y = -1 $ в этих точках будут разрывы (так называемые «выколотые» точки).

Следовательно, график функции $y = -\tg x \cdot \ctg x$ — это прямая $ y = -1 $ с бесконечным количеством выколотых точек с координатами $(\frac{\pi m}{2}, -1)$, где $ m \in Z $ (например, $(-\pi, -1), (-\frac{\pi}{2}, -1), (0, -1), (\frac{\pi}{2}, -1), (\pi, -1)$ и т.д.).

Ответ: графиком функции является прямая $y = \mathbf{-1}$ с выколотыми точками в абсциссах $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).