Номер 11.14, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.14. Постройте график функции:

а) $y = |\operatorname{tg}x|$;

б) $y = \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x}$;

В) $y = |\operatorname{tg}x| - \operatorname{tg}x$;

Г) $y = (\sqrt{\operatorname{ctg}x})^2 + \operatorname{ctg}x$;

Д) $y = \frac{|\operatorname{ctg}x|}{\operatorname{ctg}x}$;

е) $y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}$.

а) $y = |\operatorname{tg}x|$
Для построения графика функции $y=|\operatorname{tg}x|$ необходимо сначала построить график функции $y=\operatorname{tg}x$. Затем часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (Ох), следует симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, которая находится выше или на оси Ох, остается без изменений.
Функция $y=\operatorname{tg}x$ является периодической с периодом $\pi$ и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На интервалах $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ значения $\operatorname{tg}x \ge 0$, поэтому на этих участках график $y=|\operatorname{tg}x|$ совпадает с графиком $y=\operatorname{tg}x$.
На интервалах $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$ значения $\operatorname{tg}x < 0$, поэтому на этих участках график $y=\operatorname{tg}x$ отражается относительно оси Ох.
Ответ: График функции представляет собой совокупность ветвей. Каждая ветвь начинается в точке $(\pi k, 0)$, касается оси абсцисс и уходит вверх к вертикальным асимптотам $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$.

б) $y = \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x}$
Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2}=|a|$, преобразуем функцию: $y = \sqrt{(\operatorname{ctg}x)^2} = |\operatorname{ctg}x|$.
Построение графика этой функции аналогично предыдущему пункту, но для функции котангенса. Сначала строим график $y=\operatorname{ctg}x$. Функция $y=\operatorname{ctg}x$ периодическая с периодом $\pi$ и имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Части графика $y=\operatorname{ctg}x$, где $\operatorname{ctg}x \ge 0$ (на интервалах $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$), остаются без изменений. Части графика, где $\operatorname{ctg}x < 0$ (на интервалах $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$), отражаются симметрично относительно оси абсцисс.
Ответ: График функции представляет собой совокупность ветвей. Каждая ветвь начинается в точке $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, касается оси абсцисс и уходит вверх к вертикальным асимптотам $x = \pi k$ и $x = \pi (k+1)$.

в) $y = |\operatorname{tg}x| - \operatorname{tg}x$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $\operatorname{tg}x \ge 0$, что соответствует интервалам $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, то $|\operatorname{tg}x| = \operatorname{tg}x$. Функция принимает вид $y = \operatorname{tg}x - \operatorname{tg}x = 0$.
2. Если $\operatorname{tg}x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$, то $|\operatorname{tg}x| = -\operatorname{tg}x$. Функция принимает вид $y = -\operatorname{tg}x - \operatorname{tg}x = -2\operatorname{tg}x$.
Таким образом, график функции состоит из двух типов участков: отрезков на оси абсцисс и частей графика функции $y=-2\operatorname{tg}x$.
Ответ: График функции состоит из отрезков оси Ох на интервалах $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ и ветвей графика функции $y=-2\operatorname{tg}x$ (график тангенса, отраженный относительно оси Ох и растянутый в 2 раза по оси Оу) на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$.

г) $y = (\sqrt{\operatorname{ctg}x})^2 + \operatorname{ctg}x$
Область определения функции задается условием $\operatorname{ctg}x \ge 0$. Это условие выполняется на интервалах $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На этой области определения $(\sqrt{\operatorname{ctg}x})^2 = \operatorname{ctg}x$. Тогда функция упрощается до $y = \operatorname{ctg}x + \operatorname{ctg}x = 2\operatorname{ctg}x$.
Следовательно, нужно построить график функции $y=2\operatorname{ctg}x$ только на ее области определения.
Ответ: График представляет собой части графика функции $y=2\operatorname{ctg}x$ (график котангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси Оу), расположенные на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$. Каждая ветвь имеет вертикальную асимптоту $x=\pi k$ и заканчивается в точке $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$.

д) $y = \frac{|\operatorname{ctg}x|}{\operatorname{ctg}x}$
Функция определена при условии $\operatorname{ctg}x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x \neq \pi k$. Объединяя, $x \neq \frac{\pi n}{2}$ для $n \in \mathbb{Z}$.
Раскроем модуль:
1. Если $\operatorname{ctg}x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, то $y = \frac{\operatorname{ctg}x}{\operatorname{ctg}x} = 1$.
2. Если $\operatorname{ctg}x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$, то $y = \frac{-\operatorname{ctg}x}{\operatorname{ctg}x} = -1$.
Ответ: График функции состоит из бесконечного набора горизонтальных интервалов. На интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$ это интервалы прямой $y=1$. На интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$ это интервалы прямой $y=-1$. Точки с абсциссами $x=\frac{\pi n}{2}$ являются точками разрыва (выколоты).

е) $y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}$
Подкоренное выражение $-\operatorname{tg}^2 x$ должно быть неотрицательным. Так как для любого действительного значения аргумента $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$, то $-\operatorname{tg}^2 x \le 0$. Единственный случай, когда функция определена, это когда подкоренное выражение равно нулю: $-\operatorname{tg}^2 x = 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg}x = 0$.
Уравнение $\operatorname{tg}x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{0} = 0$.
Таким образом, область определения функции — это дискретное множество точек, и график состоит только из этих точек.
Ответ: График функции представляет собой набор изолированных точек на оси абсцисс с координатами $(\pi k, 0)$, где $k$ - любое целое число.