Номер 11.17, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.17. Постройте график функции $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$. Пользуясь графиком, определите:

а) нули функции;

б) промежутки убывания и возрастания функции;

в) промежутки знакопостоянства функции.

Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ необходимо проанализировать ее свойства, которые следуют из преобразования базового графика $y = \operatorname{ctg}t$.

1. Преобразование графика. График функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \operatorname{ctg}x$ путем его растяжения вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. Это означает, что все горизонтальные координаты точек графика умножаются на 2.
2. Период функции. Стандартный период функции котангенса $y = \operatorname{ctg}x$ равен $\pi$. Так как аргумент умножается на коэффициент $\frac{1}{2}$, основной период нашей функции $T$ будет в 2 раза больше: $T = \pi / (\frac{1}{2}) = 2\pi$.
3. Вертикальные асимптоты. Асимптоты функции $y = \operatorname{ctg}t$ находятся в точках, где $t = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Для нашей функции $\frac{x}{2} = k\pi$, следовательно, асимптоты — это вертикальные прямые $x = 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, $x=0, x=2\pi, x=-2\pi$.
4. Нули функции. Нули функции $y = \operatorname{ctg}t$ находятся в точках, где $t = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Для нашей функции $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, следовательно, нули функции находятся в точках $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, $x=\pi, x=3\pi, x=-\pi$.
5. Построение. На каждом интервале между асимптотами, например на $(0, 2\pi)$, функция убывает от $+\infty$ до $-\infty$. График пересекает ось $Ox$ в точке $x=\pi$. Контрольные точки на этом интервале: при $x=\frac{\pi}{2}$, $y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})=1$; при $x=\frac{3\pi}{2}$, $y = \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})=-1$. Остальные ветви графика получаются путем сдвига этой основной ветви на $2k\pi$ вдоль оси $Ox$.

Используя построенный график, определим требуемые характеристики.

а) нули функции; Ответ: нули функции — это точки пересечения графика с осью абсцисс. Они находятся в точках $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) промежутки убывания и возрастания функции; Ответ: функция убывает на всей области определения. Промежутков возрастания нет. Промежутки убывания имеют вид $(2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) промежутки знакопостоянства функции. Ответ: функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси абсцисс, на интервалах $(2k\pi; \pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси абсцисс, на интервалах $(\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.