Номер 12.4, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.4. Найдите область определения функции:

а) $y = \arcsin(3 - 5x)$;

б) $y = \arccos(x - 3) + \text{arcctg}\sqrt{x - 3}$;

в) $y = \arccos(x^2 - x - 1)$;

г) $y = \arcsin(|x - 2|)$.

а) Область определения функции арксинус, $y=\arcsin(u)$, есть отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $y = \arcsin(3-5x)$ должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \le 3 - 5x \le 1$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-1 - 3 \le -5x \le 1 - 3$

$-4 \le -5x \le -2$

Разделим все части на -5, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-2}{-5} \le x \le \frac{-4}{-5}$

$\frac{2}{5} \le x \le \frac{4}{5}$

Таким образом, область определения функции – это отрезок. Ответ: $[\frac{2}{5}; \frac{4}{5}]$.

б) Область определения функции $y = \arccos(x-3) + \mathrm{arcctg}\sqrt{x-3}$ является пересечением областей определения слагаемых: $y_1 = \arccos(x-3)$ и $y_2 = \mathrm{arcctg}\sqrt{x-3}$.

1. Для $y_1 = \arccos(x-3)$ аргумент должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$:

$-1 \le x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$2 \le x \le 4$

Область определения $y_1$ есть $D(y_1) = [2; 4]$.

2. Для $y_2 = \mathrm{arcctg}\sqrt{x-3}$ аргумент арккотангенса может быть любым действительным числом, но подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

Область определения $y_2$ есть $D(y_2) = [3; +\infty)$.

3. Общая область определения функции есть пересечение $D(y_1) \cap D(y_2) = [2; 4] \cap [3; +\infty)$. Ответ: $[3; 4]$.

в) Область определения функции $y = \arccos(x^2 - x - 1)$ задается двойным неравенством:

$-1 \le x^2 - x - 1 \le 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - x - 1 \ge -1 \\ x^2 - x - 1 \le 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2 - x \ge 0 \\ x^2 - x - 2 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - x \ge 0 \implies x(x-1) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x - 2 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=2$. Решением неравенства является $x \in [-1; 2]$.

Область определения исходной функции есть пересечение найденных множеств: $((-\infty; 0] \cup [1; +\infty)) \cap [-1; 2]$. Ответ: $[-1; 0] \cup [1; 2]$.

г) Область определения функции $y = \arcsin(|x-2|)$ задается двойным неравенством:

$-1 \le |x - 2| \le 1$

Так как модуль любого выражения всегда неотрицателен, то есть $|x-2| \ge 0$ для всех $x$, левая часть неравенства $-1 \le |x - 2|$ всегда верна. Остается решить правую часть:

$|x - 2| \le 1$

Это неравенство эквивалентно следующему двойному неравенству:

$-1 \le x - 2 \le 1$

Прибавим 2 ко всем частям:

$-1+2 \le x \le 1+2$

$1 \le x \le 3$

Таким образом, область определения функции – это отрезок. Ответ: $[1; 3]$.