Номер 12.3, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.3. Что больше: $\arccos(-0,3)$ или $\operatorname{arctg}(-0,3)$? Почему?

Чтобы сравнить значения выражений $arccos(-0,3)$ и $arctg(-0,3)$, необходимо проанализировать области значений соответствующих обратных тригонометрических функций.

1. Функция арккосинус, $y = arccos(x)$, по определению имеет область значений $[0; \pi]$. Это означает, что для любого допустимого аргумента $x$ (в данном случае $x = -0,3$, что удовлетворяет условию $-1 \le x \le 1$), значение $arccos(x)$ будет неотрицательным.

Более того, функция косинус на отрезке $[0; \pi]$ является убывающей. Так как $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $-0,3 < 0$, то $arccos(-0,3) > arccos(0)$, что означает $arccos(-0,3) > \frac{\pi}{2}$. Следовательно, $arccos(-0,3)$ — это положительное число, большее $\frac{\pi}{2}$ (приблизительно $1,57$).

2. Функция арктангенс, $y = arctg(x)$, по определению имеет область значений $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Функция арктангенс является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $arctg(-x) = -arctg(x)$. Поскольку аргумент $-0,3$ отрицателен, значение $arctg(-0,3)$ также будет отрицательным. Оно лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

3. Сравнивая два числа, мы видим, что $arccos(-0,3)$ — положительное число, а $arctg(-0,3)$ — отрицательное. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Таким образом, $arccos(-0,3) > arctg(-0,3)$.

Ответ: значение $arccos(-0,3)$ больше, чем значение $arctg(-0,3)$, потому что $arccos(-0,3)$ — положительное число (находится в промежутке $(\frac{\pi}{2}, \pi]$), а $arctg(-0,3)$ — отрицательное число (находится в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, 0)$).