Номер 12.9, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.9. На одном из рисунков 55, а–д изображен график функции

$y = \arcsin(x - 1)$. Выберите этот рисунок.

а) б) в) г) д) Рис. 55

Для того чтобы выбрать правильный график для функции $y = \arcsin(x - 1)$, необходимо проанализировать ее свойства. Данная функция является результатом преобразования базовой функции $y = \arcsin(x)$.

График функции $y = \arcsin(x - 1)$ получается из графика $y = \arcsin(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на 1 единицу вправо.

Определим основные характеристики искомой функции:

1. Область определения: Аргумент функции арксинус, $(x-1)$, должен находиться в отрезке $[-1, 1]$.

$ -1 \le x - 1 \le 1 $

Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$ -1 + 1 \le x \le 1 + 1 $

$ 0 \le x \le 2 $

Следовательно, область определения функции $D(y) = [0, 2]$.

2. Область значений: Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений функции. Она остается такой же, как у $y = \arcsin(x)$:

$E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

3. Ключевые точки: Найдем новые координаты ключевых точек путем сдвига точек графика $y = \arcsin(x)$ на 1 вправо:

- Начальная точка графика $(-1, -\frac{\pi}{2})$ смещается в точку $(0, -\frac{\pi}{2})$.

- Точка пересечения с осью абсцисс $(0, 0)$ смещается в точку $(1, 0)$.

- Конечная точка графика $(1, \frac{\pi}{2})$ смещается в точку $(2, \frac{\pi}{2})$.

4. Монотонность: Функция $y = \arcsin(x)$ является возрастающей, и сдвиг не меняет ее монотонности. Следовательно, функция $y = \arcsin(x - 1)$ также является возрастающей на всей своей области определения.

Теперь проанализируем каждый из предложенных рисунков:

а) На графике изображена функция $y = \arcsin(x)$. Ее область определения $[-1, 1]$. Ответ: неверно.

б) На графике изображена убывающая функция. Искомая функция является возрастающей. Ответ: неверно.

в) График на этом рисунке сдвинут влево относительно начала координат. Его область определения $[-2, 0]$, что соответствует функции $y = \arcsin(x+1)$. Ответ: неверно.

г) Этот график полностью соответствует всем найденным свойствам функции $y = \arcsin(x-1)$. Область определения — $[0, 2]$, область значений — $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. График является возрастающей кривой и проходит через ключевые точки $(0, -\frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$ и $(2, \frac{\pi}{2})$. Ответ: верно.

д) На графике изображена убывающая функция. Искомая функция является возрастающей. Ответ: неверно.