Номер 11.8, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.8. Используя свойство периодичности функций $f(x) = tg x$ и $f(x) = ctg x$, вычислите:

a) $tg 405^\circ$;

б) $ctg 390^\circ$;

в) $tg 240^\circ$;

г) $ctg 225^\circ$;

д) $ctg 810^\circ$;

е) $tg 720^\circ$;

ж) $ctg 780^\circ$;

з) $tg 1110^\circ$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством периодичности функций тангенса и котангенса. Наименьший положительный период для обеих функций $f(x)=\operatorname{tg}x$ и $f(x)=\operatorname{ctg}x$ равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это означает, что для любого целого числа $k$ справедливы следующие равенства:

$\operatorname{tg}(x + 180^\circ \cdot k) = \operatorname{tg}x$

$\operatorname{ctg}(x + 180^\circ \cdot k) = \operatorname{ctg}x$

Мы будем использовать это свойство, чтобы свести вычисление значений функций для больших углов к вычислению для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

а) tg 405°; Используя свойство периодичности тангенса ($T=180^\circ$), представим угол $405^\circ$ в виде суммы, кратной периоду, и остатка: $405^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 45^\circ$. Таким образом, $\operatorname{tg} 405^\circ = \operatorname{tg}(2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ$. Табличное значение $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$. Ответ: 1

б) ctg 390°; Период котангенса также равен $180^\circ$. Представим угол $390^\circ$ как $390^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 30^\circ$. Следовательно, $\operatorname{ctg} 390^\circ = \operatorname{ctg}(2 \cdot 180^\circ + 30^\circ) = \operatorname{ctg} 30^\circ$. Табличное значение $\operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$

в) tg 240°; Период тангенса $T=180^\circ$. Представим угол $240^\circ$ как $240^\circ = 1 \cdot 180^\circ + 60^\circ$. Следовательно, $\operatorname{tg} 240^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ + 60^\circ) = \operatorname{tg} 60^\circ$. Табличное значение $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$

г) ctg 225°; Период котангенса $T=180^\circ$. Представим угол $225^\circ$ как $225^\circ = 1 \cdot 180^\circ + 45^\circ$. Следовательно, $\operatorname{ctg} 225^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{ctg} 45^\circ$. Табличное значение $\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$. Ответ: 1

д) ctg 810°; Период котангенса $T=180^\circ$. Представим угол $810^\circ$ как $810^\circ = 4 \cdot 180^\circ + 90^\circ$. Следовательно, $\operatorname{ctg} 810^\circ = \operatorname{ctg}(4 \cdot 180^\circ + 90^\circ) = \operatorname{ctg} 90^\circ$. Вычисляем значение: $\operatorname{ctg} 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$. Ответ: 0

е) tg 720°; Период тангенса $T=180^\circ$. Угол $720^\circ$ кратен периоду: $720^\circ = 4 \cdot 180^\circ$. Таким образом, $\operatorname{tg} 720^\circ = \operatorname{tg}(4 \cdot 180^\circ + 0^\circ) = \operatorname{tg} 0^\circ$. Табличное значение $\operatorname{tg} 0^\circ = 0$. Ответ: 0

ж) ctg 780°; Период котангенса $T=180^\circ$. Представим угол $780^\circ$ как $780^\circ = 4 \cdot 180^\circ + 60^\circ$. Следовательно, $\operatorname{ctg} 780^\circ = \operatorname{ctg}(4 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = \operatorname{ctg} 60^\circ$. Табличное значение $\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

з) tg 1110°; Период тангенса $T=180^\circ$. Представим угол $1110^\circ$ как $1110^\circ = 6 \cdot 180^\circ + 30^\circ$. Следовательно, $\operatorname{tg} 1110^\circ = \operatorname{tg}(6 \cdot 180^\circ + 30^\circ) = \operatorname{tg} 30^\circ$. Табличное значение $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$