Номер 11.2, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.2. Верно ли, что график функции $y = 3ctg2x$ проходит через точку:

a) $A(\frac{\pi}{4}; 0);$

б) $B(-\pi; 0);$

в) $C(-\frac{\pi}{6}; -\sqrt{3});$

г) $D(\frac{\pi}{8}; 3)?$

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = 3\operatorname{ctg}(2x)$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если получится верное равенство $y_0 = 3\operatorname{ctg}(2x_0)$, то точка принадлежит графику.

а) A($\frac{\pi}{4}$; 0)

Подставим координаты точки A в уравнение функции:

$y = 3\operatorname{ctg}(2x)$

$0 = 3\operatorname{ctg}(2 \cdot \frac{\pi}{4})$

$0 = 3\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})$

Мы знаем, что значение котангенса в точке $\frac{\pi}{2}$ равно 0, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$.

$0 = 3 \cdot 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку А. Ответ: Да.

б) B($-\pi$; 0)

Подставим координаты точки B в уравнение функции:

$y = 3\operatorname{ctg}(2x)$

$0 = 3\operatorname{ctg}(2 \cdot (-\pi))$

$0 = 3\operatorname{ctg}(-2\pi)$

Функция котангенс $y = \operatorname{ctg}(u)$ не определена в точках, где $u = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках $\sin(u) = 0$. В нашем случае аргумент котангенса равен $2x = -2\pi$, что соответствует случаю $k = -2$. Следовательно, в точке $x = -\pi$ функция не определена. График функции не может проходить через точку, которая не входит в ее область определения. Ответ: Нет.

в) C($-\frac{\pi}{6}$; $-\sqrt{3}$)

Подставим координаты точки C в уравнение функции:

$y = 3\operatorname{ctg}(2x)$

$-\sqrt{3} = 3\operatorname{ctg}(2 \cdot (-\frac{\pi}{6}))$

$-\sqrt{3} = 3\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3})$

Так как котангенс — нечетная функция, $\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.

$-\sqrt{3} = -3\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3})$

Значение котангенса в точке $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

$-\sqrt{3} = -3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

$-\sqrt{3} = -\frac{3}{\sqrt{3}}$

Чтобы упростить правую часть, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$-\sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку С. Ответ: Да.

г) D($\frac{\pi}{8}$; 3)

Подставим координаты точки D в уравнение функции:

$y = 3\operatorname{ctg}(2x)$

$3 = 3\operatorname{ctg}(2 \cdot \frac{\pi}{8})$

$3 = 3\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что значение котангенса в точке $\frac{\pi}{4}$ равно 1.

$3 = 3 \cdot 1$

$3 = 3$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку D. Ответ: Да.