Номер 10.23, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.23. Найдите наименьший положительный период функции

$y = \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{3}$

Для нахождения наименьшего положительного периода функции, представляющей собой сумму двух или более периодических функций, необходимо сначала определить периоды каждой из функций-слагаемых, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК). Это возможно, если отношение периодов является рациональным числом.

Исходная функция: $y = \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{3}$.

Она состоит из двух слагаемых: $f(x) = \sin\frac{x}{2}$ и $g(x) = \cos\frac{x}{3}$.

1. Найдем наименьший положительный период $T_1$ функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$.

Общий вид функции синуса — $\sin(kx)$. Её наименьший положительный период вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $2\pi$ — основной период функции $\sin(x)$.

Для функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$ коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

Следовательно, период $T_1$ равен:

$T_1 = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

2. Найдем наименьший положительный период $T_2$ функции $g(x) = \cos\frac{x}{3}$.

Общий вид функции косинуса — $\cos(kx)$. Её наименьший положительный период также вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $2\pi$ — основной период функции $\cos(x)$.

Для функции $g(x) = \cos\frac{x}{3}$ коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Следовательно, период $T_2$ равен:

$T_2 = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

3. Найдем наименьший положительный период $T$ для исходной функции $y(x)$.

Период $T$ является наименьшим общим кратным (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$. Убедимся, что их отношение рационально: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4\pi}{6\pi} = \frac{2}{3}$. Так как отношение является рациональным числом, общий период существует.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(4\pi, 6\pi)$.

Для нахождения НОК вынесем общий множитель $\pi$ за скобки:

$T = \pi \cdot \text{НОК}(4, 6)$.

Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 равно 12, так как 12 — это наименьшее число, которое делится без остатка и на 4, и на 6.

Таким образом, наименьший положительный период исходной функции равен:

$T = 12\pi$.

10.23. Ответ: $12\pi$.