Номер 10.19, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.19. Постройте график функции:

а) $y = |\sin x|$;

б) $y = \sqrt{\cos^2 x}$;

в) $y = |\sin x| + \sin x$;

г) $y = (\sqrt{\cos x})^2 - \cos x$;

д) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}$;

е) $y = \sqrt{-\sin^2 x}$.

а) Функция $y=|\sin x|$. По определению модуля, $|\sin x| = \sin x$, если $\sin x \ge 0$, и $|\sin x| = -\sin x$, если $\sin x < 0$.

Для построения графика функции $y=|\sin x|$ необходимо сначала построить график $y=\sin x$. Затем части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где $\sin x < 0$), нужно симметрично отразить относительно этой оси. Части графика, которые находятся выше или на оси абсцисс (где $\sin x \ge 0$), остаются без изменений.

В результате получится график, состоящий из "волн" синусоиды, расположенных только в верхней полуплоскости. Период функции равен $\pi$. Область значений: $[0; 1]$.

Ответ: график функции $y=|\sin x|$ получается из графика $y=\sin x$ отражением отрицательной части относительно оси Ox.

б) Функция $y = \sqrt{\cos^2 x}$. Согласно свойству квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, данную функцию можно упростить: $y = |\cos x|$.

График функции $y=|\cos x|$ строится аналогично графику $y=|\sin x|$. Сначала строится график функции $y=\cos x$. Затем части графика, где $\cos x < 0$, отражаются симметрично относительно оси абсцисс. Части графика, где $\cos x \ge 0$, остаются без изменений.

График представляет собой "волны" косинусоиды, расположенные в верхней полуплоскости. Период функции равен $\pi$. Область значений: $[0; 1]$.

Ответ: функция эквивалентна $y=|\cos x|$, график получается из $y=\cos x$ отражением отрицательной части относительно оси Ox.

в) Рассмотрим функцию $y = |\sin x| + \sin x$. Для ее построения раскроем модуль, рассмотрев два случая. Первый случай: если $\sin x \ge 0$, то есть при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид $y = \sin x + \sin x = 2\sin x$. Это синусоида с амплитудой 2. Второй случай: если $\sin x < 0$, то есть при $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид $y = -\sin x + \sin x = 0$.

Таким образом, график функции состоит из участков синусоиды $y=2\sin x$ на интервалах, где синус неотрицателен, и отрезков прямой $y=0$ на интервалах, где синус отрицателен. Период функции $2\pi$. Область значений: $[0; 2]$.

Ответ: график функции представляет собой $y = 2\sin x$ при $\sin x \ge 0$ и $y=0$ при $\sin x < 0$.

г) Рассмотрим функцию $y = (\sqrt{\cos x})^2 - \cos x$. Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\cos x \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этой области определения $(\sqrt{\cos x})^2 = \cos x$. Подставим это в исходное уравнение: $y = \cos x - \cos x = 0$.

Таким образом, график функции — это прямая $y=0$, но существующая только на тех интервалах, где $\cos x \ge 0$. График будет состоять из отрезков, лежащих на оси абсцисс.

Ответ: график функции — это отрезки прямой $y=0$ на интервалах $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

д) Рассмотрим функцию $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}$. Область определения: знаменатель не равен нулю, то есть $|\cos x| \ne 0$, что равносильно $\cos x \ne 0$. Следовательно, $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках на графике будут разрывы (выколотые точки).

Рассмотрим два случая. Первый случай: если $\cos x > 0$, то есть на интервалах $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, то $|\cos x| = \cos x$, и функция $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$. Второй случай: если $\cos x < 0$, то есть на интервалах $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, то $|\cos x| = -\cos x$, и функция $y = \frac{\cos x}{-\cos x} = -1$.

График функции представляет собой "прямоугольную волну": он состоит из горизонтальных линий на уровне $y=1$ и $y=-1$, с разрывами в точках, где косинус равен нулю.

Ответ: график функции представляет собой кусочно-постоянную функцию, равную 1, где $\cos x > 0$, и -1, где $\cos x < 0$.

е) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-\sin^2 x}$. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-\sin^2 x \ge 0$. Поскольку $\sin^2 x \ge 0$ для любого $x$, то $-\sin^2 x \le 0$. Единственный способ удовлетворить условию $-\sin^2 x \ge 0$ — это потребовать, чтобы $-\sin^2 x = 0$, что равносильно $\sin^2 x = 0$, или $\sin x = 0$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, функция определена только в этих точках. В этих точках значение функции равно $y = \sqrt{-0} = 0$.

График функции — это не линия, а набор изолированных точек, лежащих на оси абсцисс в точках $x=..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$

Ответ: график функции состоит из множества точек вида $(\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.