Номер 10.14, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.14. Докажите, что функция $y = f(x)$ является четной:

а) $f(x) = x^4 \cdot \cos2x;$

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x - 1}{|x|};$

в) $f(x) = \frac{x \cdot \sin x}{x^2 - 9};$

г) $f(x) = \cos6x - \sin^4 x.$

Для доказательства того, что функция $y=f(x)$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Ее область определения $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x)=f(x)$.

а) Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 \cdot \cos(2x)$.
1. Область определения $D(f)$ для функций $x^4$ и $\cos(2x)$ — это множество всех действительных чисел $R$. Следовательно, область определения их произведения также $R$, которая является симметричной относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^4 \cdot \cos(2(-x))$.
Используя свойство степенной функции с четным показателем $((-x)^4 = x^4)$ и свойство четности функции косинус ($\cos(-2x) = \cos(2x)$), получаем:
$f(-x) = x^4 \cdot \cos(2x) = f(x)$.
Так как оба условия выполнены, функция является четной.
Ответ: функция является четной.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sin^2 x - 1}{|x|}$.
1. Область определения функции $D(f)$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$.
$f(-x) = \frac{\sin^2(-x) - 1}{|-x|}$.
Так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. Для модуля верно $|-x| = |x|$.
Подставляя эти выражения, получаем:
$f(-x) = \frac{\sin^2 x - 1}{|x|} = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является четной.
Ответ: функция является четной.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x \cdot \sin x}{x^2 - 9}$.
1. Область определения функции $D(f)$ определяется условием $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 9$, $x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Данная область симметрична относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$.
$f(-x) = \frac{(-x) \cdot \sin(-x)}{(-x)^2 - 9}$.
Преобразуем числитель: $(-x) \cdot \sin(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \cdot \sin x$.
Преобразуем знаменатель: $(-x)^2 - 9 = x^2 - 9$.
Таким образом, $f(-x) = \frac{x \cdot \sin x}{x^2 - 9} = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является четной.
Ответ: функция является четной.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(6x) - \sin^4 x$.
1. Область определения для функций $\cos(6x)$ и $\sin^4 x$ — это множество всех действительных чисел $R$. Область определения их разности также $R$, которая симметрична относительно нуля.
2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$.
$f(-x) = \cos(6(-x)) - \sin^4(-x)$.
Функция косинус — четная, поэтому $\cos(-6x) = \cos(6x)$.
Функция синус — нечетная, $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда $\sin^4(-x) = (\sin(-x))^4 = (-\sin x)^4 = \sin^4 x$.
Подставляя, получаем:
$f(-x) = \cos(6x) - \sin^4 x = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является четной.
Ответ: функция является четной.