Номер 10.10, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.10. Найдите множество значений функции:

a) $y = |\sin x| + 4;$

б) $y = |\cos 2x| - 3;$

в) $y = 5 - 2|\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)|;$

г) $y = 4,2 - 0,3|\cos 5x|.$

а) Чтобы найти множество значений функции $y = |\sin x| + 4$, воспользуемся известным свойством функции синус. Множество значений функции $f(x) = \sin x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$.
Применяя модуль, мы ограничиваем значения снизу нулем, так как модуль не может быть отрицательным: $0 \le |\sin x| \le 1$.
Далее, согласно выражению для $y$, прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$0 + 4 \le |\sin x| + 4 \le 1 + 4$
$4 \le y \le 5$
Таким образом, множество значений функции $E(y) = [4; 5]$.
Ответ: $[4; 5]$

б) Для функции $y = |\cos 2x| - 3$ действуем аналогично. Множество значений функции $f(x) = \cos 2x$ есть отрезок $[-1; 1]$, так как множитель при $x$ не влияет на амплитуду. Итак: $-1 \le \cos 2x \le 1$.
Применяем модуль: $0 \le |\cos 2x| \le 1$.
Далее, вычитаем 3 из всех частей неравенства:
$0 - 3 \le |\cos 2x| - 3 \le 1 - 3$
$-3 \le y \le -2$
Таким образом, множество значений функции $E(y) = [-3; -2]$.
Ответ: $[-3; -2]$

в) Рассмотрим функцию $y = 5 - 2|\sin(x - \frac{\pi}{4})|$. Фазовый сдвиг $x - \frac{\pi}{4}$ не меняет множество значений синуса, которое остается отрезком $[-1; 1]$.
$ -1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1 $
Берем модуль: $0 \le |\sin(x - \frac{\pi}{4})| \le 1$.
Умножаем неравенство на 2: $0 \le 2|\sin(x - \frac{\pi}{4})| \le 2$.
Теперь умножим на -1, что приведет к изменению знаков неравенства на противоположные:
$0 \ge -2|\sin(x - \frac{\pi}{4})| \ge -2$
или, в более привычном виде:
$-2 \le -2|\sin(x - \frac{\pi}{4})| \le 0$
Наконец, прибавляем 5 ко всем частям:
$5 - 2 \le 5 - 2|\sin(x - \frac{\pi}{4})| \le 5 + 0$
$3 \le y \le 5$
Таким образом, множество значений функции $E(y) = [3; 5]$.
Ответ: $[3; 5]$

г) Рассмотрим функцию $y = 4,2 - 0,3|\cos 5x|$. Множество значений функции $f(x) = \cos 5x$ есть отрезок $[-1; 1]$.
$ -1 \le \cos 5x \le 1 $
Берем модуль: $0 \le |\cos 5x| \le 1$.
Умножаем неравенство на 0,3: $0 \le 0,3|\cos 5x| \le 0,3$.
Умножаем на -1, меняя знаки неравенства:
$0 \ge -0,3|\cos 5x| \ge -0,3$
или:
$-0,3 \le -0,3|\cos 5x| \le 0$
Прибавляем 4,2 ко всем частям:
$4,2 - 0,3 \le 4,2 - 0,3|\cos 5x| \le 4,2 + 0$
$3,9 \le y \le 4,2$
Таким образом, множество значений функции $E(y) = [3,9; 4,2]$.
Ответ: $[3,9; 4,2]$