Номер 10.5, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.5. Найдите ординату точки пересечения графика функции $f(x) = 2\sin x + \cos x$ и прямой:

$x = -\frac{\pi}{2}$;

$x = \frac{\pi}{6}$;

$x = \pi$;

$x = \frac{\pi}{4}$.

Для нахождения ординаты точки пересечения графика функции и прямой необходимо подставить заданное значение абсциссы $x$ в уравнение функции $f(x) = 2\sin x + \cos x$ и вычислить соответствующее значение $y = f(x)$.

а) $x = -\frac{\pi}{2}$;
Подставляем значение $x$ в функцию:
$y = f(-\frac{\pi}{2}) = 2\sin(-\frac{\pi}{2}) + \cos(-\frac{\pi}{2})$
Используя значения тригонометрических функций $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$y = 2 \cdot (-1) + 0 = -2$
Поскольку целое число $-2$ можно представить в виде неправильной дроби $\frac{-2}{1}$, его целая часть равна $-2$.
Ответ: -2

б) $x = \frac{\pi}{6}$;
Подставляем значение $x$ в функцию:
$y = f(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6})$
Используя значения тригонометрических функций $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$y = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$
Данное число является иррациональным, поэтому представление в виде смешанной дроби с выделением целой части в стандартном виде невозможно. Запишем ответ в простейшем виде.
Ответ: $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $x = \pi$;
Подставляем значение $x$ в функцию:
$y = f(\pi) = 2\sin(\pi) + \cos(\pi)$
Используя значения тригонометрических функций $\sin(\pi) = 0$ и $\cos(\pi) = -1$, получаем:
$y = 2 \cdot 0 + (-1) = -1$
Поскольку целое число $-1$ можно представить в виде неправильной дроби $\frac{-1}{1}$, его целая часть равна $-1$.
Ответ: -1

г) $x = \frac{\pi}{4}$;
Подставляем значение $x$ в функцию:
$y = f(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})$
Используя значения тригонометрических функций $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$y = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
Данное число является иррациональным, поэтому представление в виде смешанной дроби с выделением целой части в стандартном виде невозможно. Запишем ответ в простейшем виде.
Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$