Номер 10.9, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке:

а) $[-\frac{\pi}{2}; \pi];$

б) $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}];$

в) $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}];$

г) $[-\frac{\pi}{6}; 0].$

а) На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ для функции $y = \sin x$ наименьшее значение достигается при $x = -\frac{\pi}{2}$ и равно $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, а наибольшее значение достигается при $x = \frac{\pi}{2}$ и равно $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Для функции $y = \cos x$ наименьшее значение на этом отрезке достигается при $x = \pi$ и равно $\cos(\pi) = -1$, а наибольшее значение достигается при $x = 0$ и равно $\cos(0) = 1$. Ответ: для $y = \sin x$ наименьшее значение $-1$, наибольшее $1$; для $y = \cos x$ наименьшее значение $-1$, наибольшее $1$.

б) На отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$ функция $y = \sin x$ сначала возрастает до максимума в точке $x = \frac{\pi}{2}$, где $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Наименьшее значение нужно искать на концах отрезка: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Сравнивая их, получаем наименьшее значение $\frac{1}{2}$. Для функции $y = \cos x$ на этом отрезке происходит монотонное убывание, поэтому наибольшее значение достигается в левой точке $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее — в правой $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. Ответ: для $y = \sin x$ наименьшее значение $\frac{1}{2}$, наибольшее $1$; для $y = \cos x$ наименьшее значение $-\frac{1}{2}$, наибольшее $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) На отрезке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}]$ обе функции достигают своих глобальных экстремумов. Для функции $y = \sin x$ наименьшее значение достигается в точке $x = \frac{3\pi}{2}$ и равно $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, а наибольшее — в точке $x = \frac{\pi}{2}$ и равно $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Для функции $y = \cos x$ наименьшее значение достигается в точке $x = \pi$ и равно $\cos(\pi) = -1$, а наибольшее — в точке $x = 0$ и равно $\cos(0) = 1$. Ответ: для $y = \sin x$ наименьшее значение $-1$, наибольшее $1$; для $y = \cos x$ наименьшее значение $-1$, наибольшее $1$.

г) На отрезке $[-\frac{\pi}{6}; 0]$ функция $y = \sin x$ монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет в левой точке отрезка: $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, а наибольшее — в правой: $\sin(0) = 0$. Функция $y = \cos x$ на этом отрезке также монотонно возрастает. Ее наименьшее значение равно $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а наибольшее — $\cos(0) = 1$. Ответ: для $y = \sin x$ наименьшее значение $-\frac{1}{2}$, наибольшее $0$; для $y = \cos x$ наименьшее значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$, наибольшее $1$.