Номер 10.15, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.15. Докажите, что функция $y = f(x)$ является нечетной:

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos 5x$;

б) $f(x) = \frac{\cos x + 2}{x^3 - 16x}$;

в) $f(x) = \frac{x - \sin x}{x^2 - 4}$;

г) $f(x) = \frac{\cos 7x}{x^3} - \sin^5 x$.

Функция $y=f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x \in D(f)$ справедливо равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos 5x$

1. Область определения. Функции $\sin x$ и $\cos 5x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения их произведения $D(f) = R$ (все действительные числа). Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверка свойства $f(-x) = -f(x)$. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(5(-x)) = \sin(-x) \cdot \cos(-5x)$.

Используем свойства тригонометрических функций: синус является нечетной функцией ($\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$), а косинус — четной ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$). Получаем:

$f(-x) = (-\sin x) \cdot (\cos 5x) = -(\sin x \cdot \cos 5x) = -f(x)$.

Оба условия для нечетной функции выполняются, значит, функция $f(x) = \sin x \cdot \cos 5x$ является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

б) $f(x) = \frac{\cos x + 2}{x^3 - 16x}$

1. Область определения. Функция определена при условии, что ее знаменатель не равен нулю:

$x^3 - 16x \neq 0 \implies x(x^2 - 16) \neq 0 \implies x(x-4)(x+4) \neq 0$.

Таким образом, $x \neq 0$, $x \neq 4$, $x \neq -4$. Область определения $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверка свойства $f(-x) = -f(x)$. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos(-x) + 2}{(-x)^3 - 16(-x)} = \frac{\cos x + 2}{-x^3 + 16x}$.

Вынесем знак «минус» в знаменателе за дробь:

$f(-x) = \frac{\cos x + 2}{-(x^3 - 16x)} = -\frac{\cos x + 2}{x^3 - 16x} = -f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

в) $f(x) = \frac{x - \sin x}{x^2 - 4}$

1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0$.

Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

2. Проверка свойства $f(-x) = -f(x)$.

$f(-x) = \frac{(-x) - \sin(-x)}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x - (-\sin x)}{x^2 - 4} = \frac{-x + \sin x}{x^2 - 4}$.

Вынесем знак «минус» в числителе за скобки:

$f(-x) = \frac{-(x - \sin x)}{x^2 - 4} = -\frac{x - \sin x}{x^2 - 4} = -f(x)$.

Оба условия выполняются, значит, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

г) $f(x) = \frac{\cos 7x}{x^3} - \sin^5 x$

1. Область определения. Функция представляет собой разность двух функций. Первая, $\frac{\cos 7x}{x^3}$, определена при $x \neq 0$. Вторая, $\sin^5 x$, определена для всех $x \in R$. Область определения $D(f)$ является пересечением их областей определения, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверка свойства $f(-x) = -f(x)$.

$f(-x) = \frac{\cos(7(-x))}{(-x)^3} - \sin^5(-x)$.

Учитывая, что $\cos(-7x) = \cos 7x$ (четность косинуса), $(-x)^3 = -x^3$ и $\sin^5(-x) = (\sin(-x))^5 = (-\sin x)^5 = -\sin^5 x$, получаем:

$f(-x) = \frac{\cos 7x}{-x^3} - (-\sin^5 x) = -\frac{\cos 7x}{x^3} + \sin^5 x$.

Вынесем знак «минус» за скобки:

$f(-x) = -\left(\frac{\cos 7x}{x^3} - \sin^5 x\right) = -f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, данная функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.