Номер 10.20, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.20. Постройте график функции:

a) $y = \frac{|x|}{2x}\sin x + 0,5\sin x$;

б) $y = \cos|x| + \cos x$.

а) Ответ:

Для построения графика функции $y = \frac{|x|}{2x}\sin x + 0,5\sin x$ необходимо сначала упростить её выражение.

Область определения функции: $x \neq 0$, так как в знаменателе дроби находится переменная $x$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля $|x|$:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение:
$y = \frac{x}{2x}\sin x + 0,5\sin x = \frac{1}{2}\sin x + 0,5\sin x$
Так как $0,5 = \frac{1}{2}$, получаем:
$y = \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{2}\sin x = \sin x$.
Таким образом, при $x > 0$ график функции совпадает с графиком $y = \sin x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в исходное уравнение:
$y = \frac{-x}{2x}\sin x + 0,5\sin x = -\frac{1}{2}\sin x + 0,5\sin x = 0$.
Таким образом, при $x < 0$ график функции совпадает с графиком $y = 0$ (ось абсцисс).

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Точка $x=0$ не входит в область определения, поэтому на графике в этой точке будет разрыв ("выколотая" точка). Найдем её координаты, вычислив пределы слева и справа:
$\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \sin x = \sin(0) = 0$
$\lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} 0 = 0$
Следовательно, на графике будет выколотая точка с координатами $(0, 0)$.

График функции представляет собой:
- луч, идущий по отрицательной части оси Ox ($y=0$ при $x<0$), не включая начало координат;
- график синусоиды $y = \sin x$ при $x > 0$;
- выколотую точку в начале координат $(0, 0)$.

б) Ответ:

Рассмотрим функцию $y = \cos|x| + \cos x$.

Функция косинус является четной, то есть для любого значения аргумента $a$ выполняется равенство $\cos(-a) = \cos a$.

Рассмотрим выражение $\cos|x|$:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и $\cos|x| = \cos x$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $\cos|x| = \cos(-x)$. В силу четности функции косинус, $\cos(-x) = \cos x$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $\cos|x| = \cos x$.

Подставим это в исходное уравнение функции:
$y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Следовательно, задача сводится к построению графика функции $y = 2\cos x$. Это график стандартной функции $y = \cos x$, растянутый в 2 раза по вертикали (вдоль оси Oy).

Основные свойства функции $y = 2\cos x$:
- Область определения: все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$).
- Область значений: отрезок $[-2, 2]$ ($E(y) = [-2, 2]$).
- Период функции: $T = 2\pi$.
- Функция является четной.

График функции — косинусоида с амплитудой 2 и периодом $2\pi$.