Номер 10.24, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.24. В физике при изучении гармонических колебаний рассматривают функцию $g(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — частота колебаний, $\varphi$ — начальная фаза.

Для функции $g(t) = 2\cos\left(6t + \frac{\pi}{3}\right)$ определите:

а) частоту колебаний;

б) период колебаний;

в) начальную фазу;

г) амплитуду колебаний.

Для определения параметров гармонических колебаний, заданных функцией $g(t) = 2\cos(6t + \frac{\pi}{3})$, необходимо сопоставить ее с общей формой уравнения гармонических колебаний $g(t) = A\cos(\omega t + \phi)$. В этой общей формуле $A$ – это амплитуда, $\omega$ – это циклическая (угловая) частота, $\phi$ – начальная фаза, а период колебаний $T$ связан с частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Сравнивая данное уравнение с общим видом, находим все искомые параметры.

а) частоту колебаний; Частота колебаний $\omega$ в общем уравнении является коэффициентом при переменной времени $t$ в аргументе косинуса. В функции $g(t) = 2\cos(6t + \frac{\pi}{3})$ коэффициент при $t$ равен 6. Следовательно, циклическая частота составляет $\omega = 6$ рад/с. Ответ: 6.

б) период колебаний; Период колебаний $T$ — это время одного полного колебания. Он вычисляется через циклическую частоту $\omega$ по формуле $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставив найденное ранее значение $\omega = 6$, получим: $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, период колебаний равен $\frac{\pi}{3}$ с. Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

в) начальную фазу; Начальная фаза $\phi$ представляет собой слагаемое в аргументе косинуса, не зависящее от времени. Она определяет состояние колебательной системы в начальный момент $t=0$. В уравнении $g(t) = 2\cos(6t + \frac{\pi}{3})$ это слагаемое равно $\frac{\pi}{3}$. Значит, начальная фаза $\phi = \frac{\pi}{3}$ радиан. Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

г) амплитуду колебаний. Амплитуда $A$ — это максимальное отклонение системы от положения равновесия, которое соответствует множителю перед функцией косинуса. В функции $g(t) = 2\cos(6t + \frac{\pi}{3})$ этот множитель равен 2. Следовательно, амплитуда колебаний $A=2$. Ответ: 2.