Номер 11.4, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.4. Найдите, если это возможно, ординату точки пересечения графика функции $f(x) = \text{tg}x - 3\text{ctg}x$ и прямой:

а) $x = \frac{\pi}{4}$;

б) $x = -\frac{\pi}{6}$;

в) $x = \frac{\pi}{3}$;

г) $x = \pi$.

Для нахождения ординаты (координаты y) точки пересечения графика функции $f(x)$ и вертикальной прямой $x=a$, необходимо подставить значение $a$ в функцию и вычислить $f(a)$. Перед этим нужно убедиться, что точка $a$ принадлежит области определения функции.

Область определения функции $f(x) = \tan{x} - 3\cot{x}$ находится из условий существования тангенса и котангенса:

• $\tan{x}$ определен, если $\cos{x} \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• $\cot{x}$ определен, если $\sin{x} \neq 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что функция $f(x)$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k$ - любое целое число.

а) $x = \frac{\pi}{4}$;

Точка $x = \frac{\pi}{4}$ входит в область определения функции. Вычисляем значение функции в этой точке:

$f(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) - 3\cot(\frac{\pi}{4})$

Используя табличные значения $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$f(\frac{\pi}{4}) = 1 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$

Это целое число.

Ответ: -2.

б) $x = -\frac{\pi}{6}$;

Точка $x = -\frac{\pi}{6}$ входит в область определения функции. Вычисляем значение функции, используя свойства нечетности тангенса и котангенса ($\tan(-x) = -\tan(x)$, $\cot(-x) = -\cot(x)$):

$f(-\frac{\pi}{6}) = \tan(-\frac{\pi}{6}) - 3\cot(-\frac{\pi}{6}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) + 3\cot(\frac{\pi}{6})$

Используя табличные значения $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, получаем:

$f(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} + 3\sqrt{3} = \frac{-1 + 3(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \frac{-1+9}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

Чтобы выделить целую часть, оценим значение этого выражения. Зная, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:

$\frac{8\sqrt{3}}{3} \approx \frac{8 \cdot 1.732}{3} = \frac{13.856}{3} \approx 4.618$

Целая часть этого числа равна 4. Теперь представим исходное число в виде смешанной дроби (сумма целой и дробной части):

$\frac{8\sqrt{3}}{3} = 4 + \left(\frac{8\sqrt{3}}{3} - 4\right) = 4 + \frac{8\sqrt{3}-12}{3} = 4\frac{8\sqrt{3}-12}{3}$

Ответ: 4$\frac{8\sqrt{3}-12}{3}$.

в) $x = \frac{\pi}{3}$;

Точка $x = \frac{\pi}{3}$ входит в область определения функции. Вычисляем значение:

$f(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) - 3\cot(\frac{\pi}{3})$

Используя табличные значения $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$f(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} - 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Это целое число.

Ответ: 0.

г) $x = \pi$;

Проверим, входит ли точка $x=\pi$ в область определения. Для $k=2$ в исключаемых точках $x = \frac{\pi k}{2}$ получаем $x = \frac{\pi \cdot 2}{2} = \pi$. Следовательно, точка $x=\pi$ не входит в область определения функции, так как $\cot(\pi)$ не определен (поскольку $\sin(\pi)=0$).

Поскольку функция не определена в точке $x=\pi$, график функции не имеет точки пересечения с прямой $x=\pi$ (в этой точке у графика вертикальная асимптота).

Ответ: найти ординату невозможно.