Номер 11.1, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.1. Определите, принадлежит ли графику функции $y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$ точка:

а) $A(0; 0)$;

б) $B\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$;

в) $C\left(\frac{3\pi}{4}; 1\right)$;

г) $D\left(-\frac{\pi}{4}; 10\right)$.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) + 1$. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) A(0; 0)
Подставляем $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = \text{tg}(0 - \frac{\pi}{4}) + 1$
$0 = \text{tg}(-\frac{\pi}{4}) + 1$
Зная, что $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ и $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$0 = -1 + 1$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, точка A(0; 0) принадлежит графику функции.
Ответ: точка принадлежит графику.

б) B($\frac{\pi}{4}$; 1)
Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = 1$ в уравнение функции:
$1 = \text{tg}(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + 1$
$1 = \text{tg}(0) + 1$
Зная, что $\text{tg}(0) = 0$, получаем:
$1 = 0 + 1$
$1 = 1$
Равенство верное, следовательно, точка B($\frac{\pi}{4}$; 1) принадлежит графику функции.
Ответ: точка принадлежит графику.

в) C($\frac{3\pi}{4}$; 1)
Подставляем $x = \frac{3\pi}{4}$ в уравнение функции:
$y = \text{tg}(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + 1$
$y = \text{tg}(\frac{2\pi}{4}) + 1$
$y = \text{tg}(\frac{\pi}{2}) + 1$
Функция $y = \text{tg}(x)$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число. Так как аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2}$, значение функции в этой точке не существует.
Ответ: точка не принадлежит графику.

г) D($-\frac{\pi}{4}$; 10)
Подставляем $x = -\frac{\pi}{4}$ в уравнение функции:
$y = \text{tg}(-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + 1$
$y = \text{tg}(-\frac{2\pi}{4}) + 1$
$y = \text{tg}(-\frac{\pi}{2}) + 1$
Как и в предыдущем пункте, аргумент тангенса равен $-\frac{\pi}{2}$. В этой точке функция тангенс не определена.
Ответ: точка не принадлежит графику.