Номер 11.5, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.5. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция

$y = -\mathrm{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ принимает значение, равное:

а) 0;

б) -1;

в) $\sqrt{3}$;

г) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y = -\text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ принимает значение $0$, решим уравнение:
$-\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = 0$
Тангенс равен нулю, если его аргумент равен $\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
$x - \frac{\pi}{4} = \pi k$
Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Это общее решение. Найдем несколько частных значений $x$, подставляя различные целые значения $k$.
Например, при $k=0$ имеем $x = \frac{\pi}{4}$.
При $k=1$ имеем $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4} = \mathbf{1}\frac{1}{4}\pi$.

б) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция принимает значение $-1$, решим уравнение:
$-\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = -1$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = 1$
Тангенс равен единице, если его аргумент равен $\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi k$
Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{2\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Найдем несколько частных значений $x$.
При $k=0$ имеем $x = \frac{\pi}{2}$.
При $k=1$ имеем $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$.

в) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция принимает значение $\sqrt{3}$, решим уравнение:
$-\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3}$
Тангенс равен $-\sqrt{3}$, если его аргумент равен $-\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi k$
Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi k = -\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Найдем несколько частных значений $x$.
При $k=1$ имеем $x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$.
При $k=2$ имеем $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}$.
Ответ: $x = \frac{11\pi}{12}$ и $x = \frac{23\pi}{12} = \mathbf{1}\frac{11}{12}\pi$.

г) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция принимает значение $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, решим уравнение:
$-\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Тангенс равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, если его аргумент равен $\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi k$
Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{3\pi + 2\pi}{12} + \pi k = \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Найдем несколько частных значений $x$.
При $k=0$ имеем $x = \frac{5\pi}{12}$.
При $k=1$ имеем $x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{12}$ и $x = \frac{17\pi}{12} = \mathbf{1}\frac{5}{12}\pi$.