Номер 10.25, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.25. Известно, что функция $y = f(x)$ является четной и при $x \leq -\frac{\pi}{2}$ задается формулой $f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{3})$. Изобразите график этой функции при $x \geq \frac{\pi}{2}$.

По условию, функция $y=f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Также известно, что при $x \le -\frac{\pi}{2}$ функция задается формулой $f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Нам необходимо найти вид функции, чтобы изобразить ее график при $x \ge \frac{\pi}{2}$.

Возьмем произвольное значение $x$, удовлетворяющее условию $x \ge \frac{\pi}{2}$.

Из свойства четности функции следует, что $f(x) = f(-x)$.

Если $x \ge \frac{\pi}{2}$, то, умножив обе части неравенства на $-1$ и поменяв знак неравенства, получим $-x \le -\frac{\pi}{2}$.

Это означает, что для нахождения значения $f(-x)$ мы можем использовать формулу, заданную в условии, так как аргумент $(-x)$ попадает в интервал $(-\infty, -\frac{\pi}{2}]$.

Подставим $-x$ в заданную формулу:

$f(-x) = \sin((-x) - \frac{\pi}{3}) = \sin(-(x + \frac{\pi}{3}))$

Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-a) = -\sin(a)$, мы можем преобразовать полученное выражение:

$f(-x) = -\sin(x + \frac{\pi}{3})$

Поскольку $f(x) = f(-x)$, мы получаем искомую формулу для функции при $x \ge \frac{\pi}{2}$:

$f(x) = -\sin(x + \frac{\pi}{3})$

Изобразите график этой функции при $x \ge \frac{\pi}{2}$: Ответ:

Чтобы изобразить график функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{3})$ при $x \ge \frac{\pi}{2}$, можно выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \sin(x)$. Сначала график $y = \sin(x)$ сдвигается вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ влево, в результате чего получается график $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Затем этот график симметрично отражается относительно оси $Ox$, что дает график функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{3})$. Наконец, из полученного графика оставляется только та его часть, где $x \ge \frac{\pi}{2}$.

Альтернативно, построение можно выполнить, используя свойство четности. Для этого сначала строится график функции $f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{3})$ на интервале $x \le -\frac{\pi}{2}$. Затем эта часть графика зеркально отражается относительно оси $Oy$, и полученное отражение и будет являться искомым графиком функции на интервале $x \ge \frac{\pi}{2}$.