Номер 10.17, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.17. График функции $y = f(x)$ получен сдвигом графика функции $g(x)=\cos x$ на $\frac{\pi}{3}$ единицы влево вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Найдите значение выражения $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Согласно условию, график функции $y = f(x)$ получается из графика функции $g(x) = \cos x$ путем последовательных преобразований.

1. Сдвиг графика функции $g(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ единицы влево вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене аргумента $x$ на $x + \frac{\pi}{3}$. Получаем функцию $h(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует вычитанию 2 из значения функции. Таким образом, искомая функция $f(x)$ имеет вид: $f(x) = h(x) - 2 = \cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$.

Теперь необходимо найти значение выражения $f(\frac{\pi}{3})$. Для этого подставим значение $x = \frac{\pi}{3}$ в полученную формулу для функции $f(x)$: $f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - 2$

Выполним сложение в аргументе косинуса: $f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) - 2$

Значение косинуса для угла $\frac{2\pi}{3}$ является табличным и равно $-\frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение: $f(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{5}{2}$

Результат $-\frac{5}{2}$ является неправильной дробью. Для представления ответа в требуемом виде, выделим из нее целую часть: $-\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.

Ответ: -2$\frac{1}{2}$