Номер 10.16, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.16. Исследуйте на четность функцию $f(x) = 2\sin(x + \frac{\pi}{3})\cdot \sin(x + \frac{2\pi}{3})$.

Для исследования функции на четность необходимо проверить выполнение одного из условий: $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция) для всех $x$ из области определения функции.

Исходная функция: $f(x) = 2\sin(x + \frac{\pi}{3}) \cdot \sin(x + \frac{2\pi}{3})$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, так как функция синус определена для любого аргумента. Область определения симметрична относительно нуля.

Для упрощения выражения воспользуемся формулой произведения синусов: $2\sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$

В нашем случае пусть $\alpha = x + \frac{2\pi}{3}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{3}$. Тогда: $\alpha - \beta = (x + \frac{2\pi}{3}) - (x + \frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$
$\alpha + \beta = (x + \frac{2\pi}{3}) + (x + \frac{\pi}{3}) = 2x + \frac{3\pi}{3} = 2x + \pi$

Подставим полученные выражения в формулу, преобразовав исходную функцию: $f(x) = \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2x + \pi)$

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и используя формулу приведения $\cos(y + \pi) = -\cos(y)$, получим: $\cos(2x + \pi) = -\cos(2x)$

Тогда функция принимает вид: $f(x) = \frac{1}{2} - (-\cos(2x)) = \frac{1}{2} + \cos(2x)$

Теперь исследуем на четность упрощенную функцию. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{2} + \cos(2(-x)) = \frac{1}{2} + \cos(-2x)$

Так как косинус — четная функция, то $\cos(-y) = \cos(y)$. Следовательно: $f(-x) = \frac{1}{2} + \cos(2x)$

Сравнивая $f(-x)$ и $f(x)$, видим, что они равны: $f(-x) = f(x)$

10.16. Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, то данная функция является четной. Ответ: функция четная.