Номер 10.13, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.13. Найдите наименьший положительный период функции:

а) $y = \cos8x$;

б) $y = \sin5x$;

в) $y = \sin\left(3x + \frac{\pi}{12}\right)$;

г) $y = \cos\left(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{10}\right)$;

д) $y = 3\sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$;

е) $y = 4\cos\left(\frac{\pi}{8} - \frac{2x}{5}\right)$;

ж) $y = \sin\left(\frac{\pi x}{7} + 8\right) + 2$;

з) $y = 8\sin\left(\frac{\pi}{9} - 4x\right) - 3$.

Для нахождения наименьшего положительного периода тригонометрических функций вида $y = A \cdot \sin(kx + b) + C$ или $y = A \cdot \cos(kx + b) + C$ используется формула $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k$ — коэффициент при переменной $x$. Амплитуда $A$, фазовый сдвиг $b$ и вертикальный сдвиг $C$ не влияют на период функции.

а) Для функции $y = \cos 8x$, коэффициент $k = 8$. Наименьший положительный период: $T = \frac{2\pi}{|8|} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$. Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) Для функции $y = \sin 5x$, коэффициент $k = 5$. Наименьший положительный период: $T = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$. Ответ: $\frac{2\pi}{5}$.

в) В функции $y = \sin(3x + \frac{\pi}{12})$, коэффициент $k = 3$. Наименьший положительный период: $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$. Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

г) Функция $y = \cos(\frac{x}{7} - \frac{\pi}{10})$ имеет коэффициент $k = \frac{1}{7}$. Её наименьший положительный период: $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{7}|} = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$. Ответ: $14\pi$.

д) Для функции $y = 3\sin(4x - \frac{\pi}{3})$, коэффициент $k = 4$. Наименьший положительный период: $T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

е) В аргументе функции $y = 4\cos(\frac{\pi}{8} - \frac{2x}{5})$, коэффициент при $x$ равен $k = -\frac{2}{5}$. Наименьший положительный период: $T = \frac{2\pi}{|-\frac{2}{5}|} = \frac{2\pi}{\frac{2}{5}} = 2\pi \cdot \frac{5}{2} = 5\pi$. Ответ: $5\pi$.

ж) У функции $y = \sin(\frac{\pi x}{7} + 8) + 2$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{\pi}{7}$. Наименьший положительный период: $T = \frac{2\pi}{|\frac{\pi}{7}|} = \frac{2\pi \cdot 7}{\pi} = 14$. Ответ: 14.

з) В функции $y = 8\sin(\frac{\pi}{9} - 4x) - 3$, коэффициент при $x$ равен $k = -4$. Наименьший положительный период: $T = \frac{2\pi}{|-4|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Ответ: $\frac{\pi}{2}$.