Номер 9.28, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.28. Постройте график функции $y=2\text{tg}\frac{\pi x}{8}\cdot \text{ctg}\frac{\pi x}{8}$.

Для построения графика функции $y = 2 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{8} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi x}{8}$, первым шагом найдем ее область определения.

Функция определена, когда оба тригонометрических выражения, входящие в нее, имеют смысл:

1. Выражение $\operatorname{tg} \frac{\pi x}{8}$ определено, если его знаменатель, $\cos \frac{\pi x}{8}$, не равен нулю.
$\cos \frac{\pi x}{8} \neq 0$
$\frac{\pi x}{8} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Разделим обе части на $\pi$: $\frac{x}{8} \neq \frac{1}{2} + k$.
Умножим обе части на 8: $x \neq 4 + 8k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Выражение $\operatorname{ctg} \frac{\pi x}{8}$ определено, если его знаменатель, $\sin \frac{\pi x}{8}$, не равен нулю.
$\sin \frac{\pi x}{8} \neq 0$
$\frac{\pi x}{8} \neq \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Разделим обе части на $\pi$: $\frac{x}{8} \neq n$.
Умножим обе части на 8: $x \neq 8n, n \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции (ОДЗ) — это все значения $x$, для которых выполняются оба условия. То есть, $x$ не должен принимать значения вида $4 + 8k$ и $8n$. Эти два множества точек можно объединить в одно: $x \neq 4m$, где $m$ — любое целое число ($m \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения функции: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 4m, m \in \mathbb{Z}\}$.

Теперь упростим данную функцию. На всей области определения, где $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ одного и того же аргумента существуют, их произведение равно 1:
$\operatorname{tg} \frac{\pi x}{8} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi x}{8} = 1$.
Следовательно, функция принимает вид:
$y = 2 \cdot 1 = 2$.

Это означает, что для всех $x$ из области определения значение функции постоянно и равно 2. Графиком функции является горизонтальная прямая $y=2$, из которой исключены (или "выколоты") точки, абсциссы которых не входят в область определения.
Координаты выколотых точек имеют вид $(x, 2)$, где $x = 4m$ для любого целого $m$.
Примеры выколотых точек: $(\dots, -12, 2), (-8, 2), (-4, 2), (0, 2), (4, 2), (8, 2), (12, 2), \dots)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2$ с выколотыми точками вида $(4m, 2)$, где $m$ — любое целое число.