Номер 9.24, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.24. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

а) $2\cos^2 \alpha - 3\sin\alpha$;

б) $1 - \sqrt{\cos^2 \alpha - 2\sin^2 \alpha}$.

а) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $2\cos^2\alpha - 3\sin\alpha$, преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

$2\cos^2\alpha - 3\sin\alpha = 2(1 - \sin^2\alpha) - 3\sin\alpha = 2 - 2\sin^2\alpha - 3\sin\alpha = -2\sin^2\alpha - 3\sin\alpha + 2$.

Введем замену переменной: пусть $t = \sin\alpha$. Так как область значений функции синус это отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1, 1]$.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(t) = -2t^2 - 3t + 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ равен $-2$, что меньше нуля). Свое наибольшее значение на отрезке такая функция может принимать либо в вершине, если она принадлежит отрезку, либо на концах отрезка. Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка.

Найдем координату вершины параболы $t_v$:
$t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-2)} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку $-1 \le -3/4 \le 1$, вершина параболы находится внутри нашего отрезка. Значит, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

$y_{наиб} = f(-3/4) = -2(-3/4)^2 - 3(-3/4) + 2 = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{4} + 2 = -\frac{18}{16} + \frac{36}{16} + \frac{32}{16} = \frac{-18+36+32}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8}$.

Для нахождения наименьшего значения вычислим значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:

$f(-1) = -2(-1)^2 - 3(-1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3$.
$f(1) = -2(1)^2 - 3(1) + 2 = -2 - 3 + 2 = -3$.

Сравнивая значения на концах отрезка, видим, что наименьшее значение равно $-3$.

Наибольшее значение равно $25/8$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $25/8 = 3\frac{1}{8}$.

Ответ: наибольшее значение $3\frac{1}{8}$, наименьшее значение $-3$.

б) Для выражения $1 - \sqrt{\cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha}$ сначала найдем его область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha \ge 0$.

Заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha) \ge 0$
$\cos^2\alpha - 2 + 2\cos^2\alpha \ge 0$
$3\cos^2\alpha - 2 \ge 0 \implies \cos^2\alpha \ge \frac{2}{3}$.

Теперь исследуем на экстремум подкоренное выражение $U = \cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha$. Преобразуем его к одной функции:
$U = 3\cos^2\alpha - 2$.

Пусть $x = \cos^2\alpha$. С учетом области определения ($\cos^2\alpha \ge 2/3$) и области значений квадрата косинуса ($0 \le \cos^2\alpha \le 1$), получаем, что $x$ изменяется в пределах $2/3 \le x \le 1$.

Рассмотрим функцию $U(x) = 3x - 2$ на отрезке $[2/3, 1]$. Это линейная возрастающая функция, поэтому свои минимальное и максимальное значения она принимает на концах отрезка.

$U_{min} = U(2/3) = 3(\frac{2}{3}) - 2 = 2 - 2 = 0$.
$U_{max} = U(1) = 3(1) - 2 = 1$.

Итак, подкоренное выражение $U$ принимает значения в отрезке $[0, 1]$.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения исходного выражения $y = 1 - \sqrt{U}$, где $0 \le U \le 1$.

Поскольку $0 \le U \le 1$, то $0 \le \sqrt{U} \le 1$.

Функция $y(U) = 1 - \sqrt{U}$ является убывающей (чем больше $\sqrt{U}$, тем меньше $y$).
Следовательно, наибольшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $U=0$:
$y_{наиб} = 1 - \sqrt{0} = 1$.

Наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении $U=1$:
$y_{наим} = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $0$.