Номер 9.19, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

а) $3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha;$

б) $5\sin^2\alpha + 8\cos^2\alpha.$

а) Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения $3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выразим $\cos^2\alpha$ через $\sin^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$. Подставим это в исходное выражение:

$3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 3(1 - \sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha = 3 - 3\sin^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 3 - 7\sin^2\alpha$.

Теперь необходимо найти область значений полученного выражения $3 - 7\sin^2\alpha$. Значения функции синус в квадрате, $\sin^2\alpha$, находятся в пределах от $0$ до $1$ для любого угла $\alpha$. То есть, $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.

Наибольшее значение выражения $3 - 7\sin^2\alpha$ будет достигнуто, когда вычитаемое $7\sin^2\alpha$ будет минимальным. Это произойдет при $\sin^2\alpha = 0$.
$E_{max} = 3 - 7 \cdot 0 = 3$.

Наименьшее значение выражения будет достигнуто, когда вычитаемое $7\sin^2\alpha$ будет максимальным. Это произойдет при $\sin^2\alpha = 1$.
$E_{min} = 3 - 7 \cdot 1 = -4$.

Ответ: наибольшее значение $3$, наименьшее значение $-4$.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $5\sin^2\alpha + 8\cos^2\alpha$ применим аналогичный подход.

Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество. Можно представить $8\cos^2\alpha$ как $5\cos^2\alpha + 3\cos^2\alpha$ и сгруппировать слагаемые:

$5\sin^2\alpha + 8\cos^2\alpha = 5\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha + 3\cos^2\alpha = 5(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 3\cos^2\alpha$.

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается до:

$5 \cdot 1 + 3\cos^2\alpha = 5 + 3\cos^2\alpha$.

Теперь необходимо найти область значений выражения $5 + 3\cos^2\alpha$. Значения функции косинус в квадрате, $\cos^2\alpha$, также находятся в пределах от $0$ до $1$, то есть $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.

Наименьшее значение выражения $5 + 3\cos^2\alpha$ будет достигнуто, когда слагаемое $3\cos^2\alpha$ будет минимальным. Это произойдет при $\cos^2\alpha = 0$.
$E_{min} = 5 + 3 \cdot 0 = 5$.

Наибольшее значение выражения будет достигнуто, когда слагаемое $3\cos^2\alpha$ будет максимальным. Это произойдет при $\cos^2\alpha = 1$.
$E_{max} = 5 + 3 \cdot 1 = 8$.

Ответ: наибольшее значение $8$, наименьшее значение $5$.