Номер 9.13, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.13. Упростите выражение $\sqrt{4\cos^2 \alpha + 4\cos\alpha + 1} - \sqrt{4 - 4\sin^2 \alpha}$, зная,

что $\frac{2\pi}{3} < \alpha < \pi$.

Для упрощения данного выражения рассмотрим каждый член по отдельности.

Первый член выражения, $\sqrt{4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha + 1}$, можно упростить, заметив, что подкоренное выражение является полным квадратом:

$4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha + 1 = (2\cos\alpha)^2 + 2 \cdot (2\cos\alpha) \cdot 1 + 1^2 = (2\cos\alpha + 1)^2$

Следовательно, $\sqrt{4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha + 1} = \sqrt{(2\cos\alpha + 1)^2} = |2\cos\alpha + 1|$.

Второй член выражения, $\sqrt{4 - 4\sin^2\alpha}$, также можно упростить. Вынесем 4 за скобки и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

$\sqrt{4 - 4\sin^2\alpha} = \sqrt{4(1 - \sin^2\alpha)} = \sqrt{4\cos^2\alpha} = \sqrt{(2\cos\alpha)^2} = |2\cos\alpha|$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид: $|2\cos\alpha + 1| - |2\cos\alpha|$.

Теперь необходимо раскрыть модули, используя условие $\frac{2\pi}{3} < \alpha < \pi$. Этот интервал соответствует второй четверти тригонометрической окружности. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения. Более того, при $\alpha$, изменяющемся от $\frac{2\pi}{3}$ до $\pi$, значение $\cos\alpha$ изменяется от $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ до $\cos(\pi) = -1$.

Таким образом, для данного интервала выполняется неравенство $-1 < \cos\alpha < -\frac{1}{2}$.

Оценим знак выражения $2\cos\alpha$. Умножив неравенство на 2, получим: $-2 < 2\cos\alpha < -1$. Следовательно, $2\cos\alpha < 0$, и $|2\cos\alpha| = -2\cos\alpha$.

Оценим знак выражения $2\cos\alpha + 1$. Из неравенства $-2 < 2\cos\alpha < -1$ следует, что если прибавить 1 ко всем частям, получим: $-2 + 1 < 2\cos\alpha + 1 < -1 + 1$, то есть $-1 < 2\cos\alpha + 1 < 0$. Следовательно, $2\cos\alpha + 1 < 0$, и $|2\cos\alpha + 1| = -(2\cos\alpha + 1) = -2\cos\alpha - 1$.

Подставим раскрытые модули в упрощенное выражение:

$|2\cos\alpha + 1| - |2\cos\alpha| = (-2\cos\alpha - 1) - (-2\cos\alpha) = -2\cos\alpha - 1 + 2\cos\alpha = -1$.

Ответ: -1.