Номер 9.7, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.7. Докажите тождество:

а) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{ctg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{tg}\beta} = \text{tg}\alpha\text{ctg}\beta;$

б) $\frac{1 + \text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}\alpha + \text{ctg}^2\alpha} = \text{tg}^2\alpha.$

а) Докажем тождество $\frac{\tg\alpha + \ctg\beta}{\ctg\alpha + \tg\beta} = \tg\alpha\ctg\beta$.

Для этого преобразуем левую часть равенства. Выразим котангенсы через тангенсы, используя основное тригонометрическое тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$:

Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе полученной дроби:

Чтобы разделить одну дробь на другую, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

Сократим общий множитель $(1 + \tg\alpha\tg\beta)$, который присутствует и в числителе, и в знаменателе:

Так как $\frac{1}{\tg\beta} = \ctg\beta$, мы получаем выражение, равное правой части исходного тождества:

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

б) Докажем тождество $\frac{1 + \tg\alpha + \tg^2\alpha}{1 + \ctg\alpha + \ctg^2\alpha} = \tg^2\alpha$.

Преобразуем левую часть выражения. Заменим котангенсы в знаменателе на тангенсы по формуле $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$:

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю, которым является $\tg^2\alpha$:

Упростим полученную "многоэтажную" дробь, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

Сократим одинаковые выражения $(1 + \tg\alpha + \tg^2\alpha)$. Данное выражение никогда не обращается в ноль, поэтому такое сокращение всегда корректно.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.