Номер 9.2, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.2. Могут ли одновременно выполняться равенства:

a) $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\sin\alpha = \frac{2}{3}$;

б) $\sin\alpha = -\frac{5}{13}$ и $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{5}{12}$?

а) Для того чтобы проверить, могут ли данные равенства выполняться одновременно, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Подставим в него заданные значения $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\sin\alpha = \frac{2}{3}$.

Выполним проверку:

$(\frac{2}{3})^2 + (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Так как в результате получилось верное равенство $1 = 1$, то данные равенства могут выполняться одновременно. В ходе этого решения не образуется неправильных дробей, кроме $\frac{9}{9}$, целая часть которой равна 1.

Ответ: Да. Целая часть дроби $\frac{9}{9}$, полученной при проверке, равна 1.

б) Чтобы проверить, могут ли данные равенства выполняться одновременно, воспользуемся тождеством, связывающим синус и тангенс: $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$. Для этого сначала найдем котангенс, зная, что $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$.

$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5}$.

Теперь подставим известные значения в тождество. Вычислим левую часть:

$1 + \text{ctg}^2\alpha = 1 + (-\frac{12}{5})^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{25}{25} + \frac{144}{25} = \frac{169}{25}$.

Вычислим правую часть:

$\frac{1}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{(-\frac{5}{13})^2} = \frac{1}{\frac{25}{169}} = \frac{169}{25}$.

Левая и правая части равны ($\frac{169}{25} = \frac{169}{25}$), значит, тождество выполняется. Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно.

Ответ: Да. Целая часть проверочной дроби $\frac{169}{25}$ равна 6.