Номер 8.21, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.21. Определите, существует ли такое действительное число $x$, для которого выполняются условия $tgx = -1$ и:

а) $x \in (-\pi; 0];$

б) $x \in [\frac{35\pi}{2}; 18\pi].$

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $tg(x) = -1$.

Общее решение имеет вид: $x = arctg(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Поскольку $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$, общее решение уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Теперь необходимо проверить, существует ли такое целое число $n$, при котором значение $x$ будет принадлежать каждому из заданных промежутков.

а) $x \in (-\pi; 0]$

Подставим общее решение в двойное неравенство, соответствующее заданному промежутку:

$-\pi < -\frac{\pi}{4} + \pi n \le 0$

Чтобы найти $n$, разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются):

$-1 < -\frac{1}{4} + n \le 0$

Прибавим $\frac{1}{4}$ ко всем частям неравенства:

$-1 + \frac{1}{4} < n \le 0 + \frac{1}{4}$

$-\frac{3}{4} < n \le \frac{1}{4}$

Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, — это $n = 0$.

При $n=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{4}$. Это значение принадлежит интервалу $(-\pi; 0]$, следовательно, такое число $x$ существует.

Ответ: да, существует.

б) $x \in [\frac{35\pi}{2}; 18\pi]$

Аналогично, подставим общее решение в двойное неравенство для этого отрезка:

$\frac{35\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + \pi n \le 18\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$\frac{35}{2} \le -\frac{1}{4} + n \le 18$

Прибавим $\frac{1}{4}$ ко всем частям:

$\frac{35}{2} + \frac{1}{4} \le n \le 18 + \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{70}{4} + \frac{1}{4} \le n \le \frac{72}{4} + \frac{1}{4}$

$\frac{71}{4} \le n \le \frac{73}{4}$

Чтобы найти целое $n$, представим дроби в виде смешанных чисел:

$17\frac{3}{4} \le n \le 18\frac{1}{4}$

Единственное целое число $n$ в этом диапазоне — это $n = 18$.

При $n=18$ соответствующее значение $x$ равно $x = -\frac{\pi}{4} + 18\pi = \frac{-\pi + 72\pi}{4} = \frac{71\pi}{4}$. Это значение принадлежит отрезку $[\frac{35\pi}{2}; 18\pi]$, следовательно, такое число $x$ существует.

Ответ: да, существует (например, $x = \frac{71\pi}{4} = $ 17$\frac{3}{4}\pi$).