Номер 9.4, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.4. Найдите $ \cos \alpha $ и $ \sin \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = 3 $ и $ \cos \alpha > \sin \alpha $.

Для решения этой задачи мы будем использовать основное тригонометрическое тождество и определение тангенса.

По определению, тангенс угла — это отношение синуса к косинусу:

$ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

Из условия задачи нам известно, что $ \tg\alpha = 3 $. Таким образом, мы можем выразить $ \sin\alpha $ через $ \cos\alpha $:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 3 \implies \sin\alpha = 3\cos\alpha $

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $

Подставим в него полученное выражение для $ \sin\alpha $:

$ (3\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 $

$ 9\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $

$ 10\cos^2\alpha = 1 $

$ \cos^2\alpha = \frac{1}{10} $

Из этого уравнения следует, что $ \cos\alpha $ может принимать два значения:

$ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} $ или $ \cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} $.

Чтобы определить правильный знак, обратимся ко второму условию задачи: $ \cos\alpha > \sin\alpha $. Подставим в это неравенство выражение $ \sin\alpha = 3\cos\alpha $:

$ \cos\alpha > 3\cos\alpha $

Перенесем $ 3\cos\alpha $ в левую часть:

$ \cos\alpha - 3\cos\alpha > 0 $

$ -2\cos\alpha > 0 $

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \cos\alpha < 0 $

Таким образом, косинус должен быть отрицательным. Выбираем соответствующее значение:

$ \cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10} $

Теперь находим значение синуса:

$ \sin\alpha = 3\cos\alpha = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = -\frac{3\sqrt{10}}{10} $

Условие $ \tg\alpha = 3 > 0 $ означает, что $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $ имеют одинаковые знаки. Так как $ \cos\alpha < 0 $, то и $ \sin\alpha < 0 $, что соответствует нашему результату. Угол $ \alpha $ находится в третьей координатной четверти.

Проверим второе условие $ \cos\alpha > \sin\alpha $ с найденными значениями:

$ -\frac{\sqrt{10}}{10} > -\frac{3\sqrt{10}}{10} $

Это неравенство верно, так как $ 1 < 3 $, а при умножении на отрицательное число $ -\frac{\sqrt{10}}{10} $ мы получаем $ -\frac{\sqrt{10}}{10} > -\frac{3\sqrt{10}}{10} $ (поскольку $ -1 > -3 $).

cos α: Ответ: $ -\frac{\sqrt{10}}{10} $

sin α: Ответ: $ -\frac{3\sqrt{10}}{10} $