Номер 8.22, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.22. Определите, существует ли такое действительное число $x$, для которого выполняются условия $\text{tg}x = 3$ и $x \in [0, \pi]$.

Чтобы определить, существует ли такое действительное число $x$, необходимо проанализировать уравнение $tg(x) = 3$ и условие принадлежности корня отрезку $x \in [0; \pi]$.

Сначала рассмотрим уравнение $tg(x) = 3$. Функция тангенса $y = tg(x)$ имеет область значений $(-\infty; +\infty)$, что означает, что для любого действительного числа $a$ уравнение $tg(x) = a$ всегда имеет решение. Следовательно, уравнение $tg(x) = 3$ имеет корни.

Общее решение уравнения $tg(x) = 3$ дается формулой:
$x = arctg(3) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь проверим, существует ли такое целое значение $k$, при котором корень $x$ будет принадлежать отрезку $[0; \pi]$. Для этого нужно, чтобы выполнялось двойное неравенство:
$0 \le arctg(3) + \pi k \le \pi$.

По определению, значение арктангенса положительного числа лежит в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. Таким образом, $0 < arctg(3) < \frac{\pi}{2}$.

Подставим различные целые значения $k$ в это неравенство:
- При $k = 0$: $x = arctg(3)$. Так как $0 < arctg(3) < \frac{\pi}{2}$, и, очевидно, $\frac{\pi}{2} < \pi$, то значение $x = arctg(3)$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, а значит, и отрезку $[0; \pi]$.
- При $k = 1$: $x = arctg(3) + \pi$. Поскольку $arctg(3) > 0$, то $x > \pi$, и этот корень не принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
- При $k = -1$: $x = arctg(3) - \pi$. Поскольку $arctg(3) < \frac{\pi}{2}$, то $x < \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$, следовательно $x < 0$, и этот корень также не принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Мы нашли значение $x = arctg(3)$, которое удовлетворяет обоим условиям ($tg(x) = 3$ и $x \in [0; \pi]$). Этого достаточно, чтобы утверждать, что такое число существует.

Ответ: да, существует.