Номер 8.17, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.17. Выполняется ли равенство $tg\alpha = ctg\alpha$ при каком-нибудь $\alpha$? Проиллюстрируйте свое решение с помощью единичной окружности.

Да, такое равенство выполняется. Рассмотрим, при каких значениях угла $\alpha$ это происходит, и проиллюстрируем решение.

Алгебраическое решение

Нам необходимо решить тригонометрическое уравнение:

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ не определен, когда $\cos \alpha = 0$, то есть при $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Котангенс $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ не определен, когда $\sin \alpha = 0$, то есть при $\alpha = \pi k$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $\alpha \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$. Подставим его в исходное уравнение:

Умножим обе части уравнения на $\tg \alpha$, учитывая, что в ОДЗ $\tg \alpha \neq 0$:

Это уравнение распадается на два более простых:

1. $\tg \alpha = 1$
2. $\tg \alpha = -1$

Решим каждое из них:

• Для $\tg \alpha = 1$ серия решений имеет вид: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Для $\tg \alpha = -1$ серия решений имеет вид: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ (или $\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi k$), где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну общую формулу. Если отметить решения на единичной окружности, то видно, что они повторяются через каждый промежуток в $\frac{\pi}{2}$. Поэтому общее решение можно записать так:

Иллюстрация с помощью единичной окружности

Равенство $\tg \alpha = \ctg \alpha$ можно переписать как $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, что после преобразования дает $\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, или $|\sin \alpha| = |\cos \alpha|$.

На единичной окружности $\sin \alpha$ — это координата $y$, а $\cos \alpha$ — это координата $x$ точки, соответствующей углу $\alpha$. Условие $|y| = |x|$ выполняется для всех точек, лежащих на прямых $y = x$ и $y = -x$. Эти прямые являются биссектрисами координатных углов.

Пересечение этих прямых с единичной окружностью дает четыре точки, которые соответствуют углам, удовлетворяющим исходному равенству. Это углы, оканчивающиеся в серединах каждой из четырех четвертей:

• $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$ (I четверть, $x=y>0$, $\tg\alpha=1$)
• $\alpha_2 = \frac{3\pi}{4}$ (II четверть, $x=-y<0$, $\tg\alpha=-1$)
• $\alpha_3 = \frac{5\pi}{4}$ (III четверть, $x=y<0$, $\tg\alpha=1$)
• $\alpha_4 = \frac{7\pi}{4}$ (IV четверть, $x=-y>0$, $\tg\alpha=-1$)

На рисунке ниже показана единичная окружность, прямые $y=x$ и $y=-x$ (пунктиром) и четыре точки (отмечены красным), в которых выполняется равенство $\tg \alpha = \ctg \alpha$.

Ответ: Да, равенство $\tg \alpha = \ctg \alpha$ выполняется при $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число.