Номер 8.11, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.11. Сравните с нулем значения выражений $tg\alpha$ и $ctg\alpha$, если известно, что:

a) $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $-\frac{3\pi}{2} < \alpha < -\pi$;

в) $4,5\pi < \alpha < 5\pi$;

г) $-13,5\pi < \alpha < -13\pi$.

Для того чтобы сравнить значения выражений $\tan\alpha$ и $\cot\alpha$ с нулем, нужно определить, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. Знаки тангенса и котангенса в четвертях следующие:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$.
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$.
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.

Знаки $\tan\alpha$ и $\cot\alpha$ всегда совпадают, так как $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$.

а) Для интервала $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Этот интервал соответствует III (третьей) координатной четверти. В этой четверти тангенс и котангенс положительны.

Ответ: $\tan\alpha > 0$ и $\cot\alpha > 0$.

б) Для интервала $-\frac{3\pi}{2} < \alpha < -\pi$.

Чтобы определить четверть, можно прибавить к углу полный оборот $2\pi$, так как это не изменит значений тригонометрических функций.
$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi < \alpha + 2\pi < -\pi + 2\pi$
$\frac{-3\pi + 4\pi}{2} < \alpha' < \pi$
$\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$
Этот интервал соответствует II (второй) координатной четверти. В этой четверти тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $\tan\alpha < 0$ и $\cot\alpha < 0$.

в) Для интервала $4.5\pi < \alpha < 5\pi$.

Функции тангенс и котангенс имеют период $\pi$. Мы можем вычесть из интервала целое число периодов, чтобы привести его к более простому виду. Вычтем $4\pi$:
$4.5\pi - 4\pi < \alpha' < 5\pi - 4\pi$
$0.5\pi < \alpha' < \pi$, что то же самое, что и $\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$.
Это II (вторая) координатная четверть, где тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $\tan\alpha < 0$ и $\cot\alpha < 0$.

г) Для интервала $-13.5\pi < \alpha < -13\pi$.

Используя периодичность тангенса и котангенса (период $\pi$), прибавим $14\pi$ к границам интервала:
$-13.5\pi + 14\pi < \alpha' < -13\pi + 14\pi$
$0.5\pi < \alpha' < \pi$, или $\frac{\pi}{2} < \alpha' < \pi$.
Это снова II (вторая) координатная четверть. В этой четверти тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: $\tan\alpha < 0$ и $\cot\alpha < 0$.