Номер 8.7, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.7. Определите все значения $\alpha$, при которых:

$\text{ctg} \alpha = 1$;

$\text{tg} \alpha = 0$;

$\text{tg} \alpha = \sqrt{3}$;

$\text{ctg} \alpha = 0$.

а) Чтобы найти все значения $α$, при которых $ctg \alpha = 1$, мы используем общую формулу для решения тригонометрических уравнений с котангенсом: $α = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $a$ — значение котангенса, а $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). В данном случае $a = 1$. Следовательно, $α = \text{arcctg}(1) + \pi n$. Арккотангенс единицы — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$. Подставляя это значение в формулу, получаем окончательное решение. Ответ: $α = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $tg \alpha = 0$ применяется общая формула для уравнений с тангенсом: $α = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $a$ — значение тангенса, а $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Здесь $a = 0$. Тогда $α = \text{arctg}(0) + \pi n$. Арктангенс нуля — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 0. Этот угол равен $0$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем: $α = 0 + \pi n = \pi n$. Ответ: $α = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Уравнение $tg \alpha = \sqrt{3}$ решается с помощью общей формулы для тангенса: $α = \text{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. В этом уравнении $a = \sqrt{3}$. Получаем: $α = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$. Арктангенс $\sqrt{3}$ — это табличное значение. Угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, решением является. Ответ: $α = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $ctg \alpha = 0$ по общей формуле для котангенса: $α = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = 0$. Значит, $α = \text{arcctg}(0) + \pi n$. Арккотангенс нуля — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен 0. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Подставляя это значение, находим общее решение. Ответ: $α = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.