Номер 7.28, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.28. Определите, существует ли такое действительное число x, для которого выполняются условия $\sin x = -1$ и:

a) $x \in (-\pi; \pi]$;

б) $x \in [\frac{35\pi}{2}, \frac{37\pi}{2}]$.

Для того чтобы определить, существует ли такое действительное число x, необходимо сначала найти общее решение уравнения $\sin x = -1$, а затем проверить, попадают ли какие-либо из этих решений в заданные промежутки.

Общее решение уравнения $\sin x = -1$ дается формулой:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Чтобы найти подходящее значение x, решим двойное неравенство относительно k:

$-\pi < -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 < -\frac{1}{2} + 2k \le 1$

Прибавим $\frac{1}{2}$ ко всем частям:

$-1 + \frac{1}{2} < 2k \le 1 + \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} < 2k \le \frac{3}{2}$

Разделим на 2:

$-\frac{1}{4} < k \le \frac{3}{4}$

Единственным целым числом k, удовлетворяющим этому условию, является $k=0$.

При $k=0$ находим x:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2}$

Значение $x = -\frac{\pi}{2}$ принадлежит интервалу $(-\pi; \pi]$. Следовательно, такое число существует.

Ответ: Да, существует.

Аналогично, решим двойное неравенство относительно k для данного промежутка:

$\frac{35\pi}{2} \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{37\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$:

$\frac{35}{2} \le -\frac{1}{2} + 2k \le \frac{37}{2}$

Прибавим $\frac{1}{2}$ ко всем частям:

$\frac{35}{2} + \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{37}{2} + \frac{1}{2}$

$\frac{36}{2} \le 2k \le \frac{38}{2}$

$18 \le 2k \le 19$

Разделим на 2:

$9 \le k \le \frac{19}{2}$ или $9 \le k \le 9.5$

Единственным целым числом k, удовлетворяющим этому условию, является $k=9$.

При $k=9$ находим x:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 9 = -\frac{\pi}{2} + 18\pi = \frac{- \pi + 36\pi}{2} = \frac{35\pi}{2}$

Значение $x = \frac{35\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[\frac{35\pi}{2}, \frac{37\pi}{2}]$, так как оно совпадает с его левой границей. Следовательно, такое число существует.

Ответ: Да, существует. Целая часть неправильной дроби $\frac{35}{2}$ равна 17.