Номер 7.22, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.22. С помощью единичной окружности и значений синусов и косинусов углов $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$ вычислите:

а) $\sin \frac{5\pi}{4}$;

б) $\cos \frac{31\pi}{6}$;

В) $\sin \left(-\frac{7\pi}{6}\right)$;

Г) $\cos \left(-\frac{13\pi}{3}\right)$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами тригонометрических функций (периодичностью, четностью/нечетностью), формулами приведения и табличными значениями синусов и косинусов для углов $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Для вычисления $\sin\frac{5\pi}{4}$ представим угол $\frac{5\pi}{4}$ в виде суммы. Для этого выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Следовательно, $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$.
Этот угол соответствует точке в третьей четверти единичной окружности. В этой четверти значения синуса отрицательны.
Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin\frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4}$.
Значение синуса для опорного угла $\frac{\pi}{4}$ известно: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, искомое значение: $\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для вычисления $\cos\frac{31\pi}{6}$ сначала упростим угол. Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{31}{6} = 5\frac{1}{6}$.
Значит, $\frac{31\pi}{6} = 5\pi + \frac{\pi}{6}$.
Функция косинуса имеет период $2\pi$. Мы можем отбросить целое число полных оборотов ($4\pi$), чтобы найти котерминальный угол:
$5\pi + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{6}$.
$\cos\frac{31\pi}{6} = \cos(4\pi + \pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6})$.
Угол $\pi + \frac{\pi}{6}$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.
Применяем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$\cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6}$.
Известно, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\cos\frac{31\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для вычисления $\sin(-\frac{7\pi}{6})$ воспользуемся свойством нечетности функции синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{7\pi}{6})$.
Теперь найдем значение $\sin(\frac{7\pi}{6})$. Выделим целую часть из дроби: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$.
Этот угол находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
По формуле приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Тогда исходное выражение равно:
$\sin(-\frac{7\pi}{6}) = -(-\sin\frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6}$.
Известно, что $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{7\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Для вычисления $\cos(-\frac{13\pi}{3})$ воспользуемся свойством четности функции косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$\cos(-\frac{13\pi}{3}) = \cos(\frac{13\pi}{3})$.
Упростим угол $\frac{13\pi}{3}$. Выделим целую часть из дроби: $\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$.
$\frac{13\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.
Так как период косинуса $2\pi$, мы можем отбросить $4\pi$ (два полных оборота):
$\cos(\frac{13\pi}{3}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Известно, что значение $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\cos(-\frac{13\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.