Номер 7.19, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.19. Запишите в порядке возрастания значения выражений:

a) $sin 41^\circ$; $sin 90^\circ$; $sin 225^\circ$; $sin 270^\circ$; $sin 292^\circ$;

б) $cos \frac{\pi}{12}$; $cos 0$; $cos \frac{\pi}{2}$; $cos \frac{7\pi}{8}$; $cos 2\pi$.

Для того чтобы расположить значения выражений $ \sin 41^\circ; \sin 90^\circ; \sin 225^\circ; \sin 270^\circ; \sin 292^\circ $ в порядке возрастания, определим их значения или хотя бы знаки и сравним их между собой, используя свойства тригонометрических функций и единичную окружность.

Вычислим или оценим каждое значение:

• $ \sin 270^\circ = -1 $. Это минимально возможное значение для функции синуса.

• $ \sin 292^\circ $: Угол $292^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 292^\circ < 360^\circ$), где синус отрицателен. Используя формулу приведения, $ \sin 292^\circ = \sin(360^\circ - 68^\circ) = -\sin 68^\circ $.

• $ \sin 225^\circ $: Угол $225^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 225^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Используя формулу приведения, $ \sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 $.

• $ \sin 41^\circ $: Угол $41^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 41^\circ < 90^\circ$), где синус положителен. Таким образом, $0 < \sin 41^\circ < 1$.

• $ \sin 90^\circ = 1 $. Это максимально возможное значение для функции синуса.

Теперь сравним отрицательные значения: $ \sin 270^\circ, \sin 292^\circ, \sin 225^\circ $.

$ \sin 270^\circ = -1 $ является наименьшим значением из всех.

Сравним $ \sin 292^\circ = -\sin 68^\circ $ и $ \sin 225^\circ = -\sin 45^\circ $.
В интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ функция $y = \sin x$ является возрастающей. Поскольку $68^\circ > 45^\circ$, то $ \sin 68^\circ > \sin 45^\circ $. При умножении обеих частей неравенства на -1, знак неравенства меняется на противоположный: $ -\sin 68^\circ < -\sin 45^\circ $. Следовательно, $ \sin 292^\circ < \sin 225^\circ $.

Положительные значения уже упорядочены по возрастанию: $ \sin 41^\circ < \sin 90^\circ $, так как $0 < \sin 41^\circ < 1$.

Объединяя все значения, получаем итоговый ряд в порядке возрастания:

$ \sin 270^\circ < \sin 292^\circ < \sin 225^\circ < \sin 41^\circ < \sin 90^\circ $.

Ответ: $ \sin 270^\circ, \sin 292^\circ, \sin 225^\circ, \sin 41^\circ, \sin 90^\circ $.

Для того чтобы расположить значения выражений $ \cos\frac{\pi}{12}; \cos0; \cos\frac{\pi}{2}; \cos\frac{7\pi}{8}; \cos2\pi $ в порядке возрастания, определим их значения.

Вычислим или оценим каждое значение:

• $ \cos \frac{7\pi}{8} $: Угол $ \frac{7\pi}{8} $ находится во II четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{8} < \pi $), где косинус отрицателен. По формуле приведения: $ \cos \frac{7\pi}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8} $. Это единственное отрицательное значение, значит, оно наименьшее.

• $ \cos \frac{\pi}{2} = 0 $.

• $ \cos \frac{\pi}{12} $: Угол $ \frac{\pi}{12} $ находится в I четверти ($ 0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{2} $), где косинус положителен. Так как функция $ y = \cos x $ убывает на отрезке $[0, \pi]$, то $ \cos \frac{\pi}{12} < \cos 0 = 1 $. Следовательно, $ 0 < \cos \frac{\pi}{12} < 1 $.

• $ \cos 0 = 1 $.

• $ \cos 2\pi = 1 $.

Теперь расположим значения в порядке возрастания, основываясь на их числовых значениях:

Наименьшее значение — отрицательное: $ \cos \frac{7\pi}{8} $.
Далее идет ноль: $ \cos \frac{\pi}{2} $.
Затем положительное значение, меньшее единицы: $ \cos \frac{\pi}{12} $.
И, наконец, наибольшие значения, равные единице: $ \cos 0 $ и $ \cos 2\pi $.

Таким образом, получаем следующий порядок:

$ \cos \frac{7\pi}{8} < \cos \frac{\pi}{2} < \cos \frac{\pi}{12} < \cos 0 = \cos 2\pi $.

Ответ: $ \cos \frac{7\pi}{8}, \cos \frac{\pi}{2}, \cos \frac{\pi}{12}, \cos 0, \cos 2\pi $.