Номер 7.20, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.20. Возможно ли равенство:

a) $ \sin\alpha = 2\sin31^{\circ}; $

б) $ \cos\alpha = 2\cos117^{\circ}? $

а) Для того чтобы равенство $\sin\alpha = 2\sin31^\circ$ было возможным, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение выражения $2\sin31^\circ$.

Угол $31^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 31^\circ < 90^\circ$), поэтому его синус положителен. Мы знаем, что $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$. Поскольку функция синус возрастает на промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$, то $\sin31^\circ > \sin30^\circ$.

Отсюда следует:

$\sin31^\circ > \frac{1}{2}$

Умножим обе части этого неравенства на 2:

$2\sin31^\circ > 2 \cdot \frac{1}{2}$

$2\sin31^\circ > 1$

Таким образом, мы получаем, что $\sin\alpha$ должен быть равен числу, которое больше 1. Однако, область значений функции синуса — это отрезок $[-1; 1]$. Не существует такого угла $\alpha$, для которого $\sin\alpha > 1$. Ответ: данное равенство невозможно.

б) Для того чтобы равенство $\cos\alpha = 2\cos117^\circ$ было возможным, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

Оценим значение выражения $2\cos117^\circ$.

Угол $117^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 117^\circ < 180^\circ$), поэтому его косинус отрицателен.

Сравним значение $\cos117^\circ$ со значениями косинусов для известных углов. Мы знаем, что $\cos90^\circ = 0$ и $\cos120^\circ = -0.5$.

Функция косинус является убывающей на промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$. Так как $90^\circ < 117^\circ < 120^\circ$, то для их косинусов будет выполняться обратное неравенство: $\cos90^\circ > \cos117^\circ > \cos120^\circ$.

Подставим известные значения в неравенство:

$0 > \cos117^\circ > -0.5$

Теперь умножим все части этого двойного неравенства на 2:

$2 \cdot 0 > 2\cos117^\circ > 2 \cdot (-0.5)$

$0 > 2\cos117^\circ > -1$

Мы получили, что значение выражения $2\cos117^\circ$ находится в интервале $(-1; 0)$. Этот интервал полностью принадлежит области значений функции косинус, которая является отрезком $[-1; 1]$. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, косинус которого равен $2\cos117^\circ$. Ответ: данное равенство возможно.