Номер 7.17, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.17. Сравните:

а) $ \sin 340^\circ $ и $ \sin 350^\circ $;

б) $ \sin 200^\circ $ и $ \sin(-230^\circ) $;

в) $ \cos 79^\circ $ и $ \sin 337^\circ $;

г) $ \cos \frac{17\pi}{19} $ и $ \cos \frac{39\pi}{19} $;

д) $ \cos 3^\circ $ и $ \cos 3 $;

е) $ \cos 6,4 $ и $ \sin 4,9 $.

а) Углы $340^{\circ}$ и $350^{\circ}$ находятся в IV четверти ($270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$). В этой четверти функция синуса является возрастающей (её значения увеличиваются от -1 до 0). Поскольку $340^{\circ} < 350^{\circ}$, то и $\sin 340^{\circ} < \sin 350^{\circ}$.
Ответ: $\sin 340^{\circ} < \sin 350^{\circ}$.

б) Для сравнения $\sin 200^{\circ}$ и $\sin(-230^{\circ})$ приведем аргументы к более удобному виду. Используем свойство нечетности функции синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Тогда $\sin(-230^{\circ}) = -\sin(230^{\circ})$. Также можно найти котерминальный угол для $-230^{\circ}$: $\sin(-230^{\circ}) = \sin(-230^{\circ} + 360^{\circ}) = \sin(130^{\circ})$. Теперь сравним $\sin 200^{\circ}$ и $\sin 130^{\circ}$. Угол $200^{\circ}$ находится в III четверти, где синус отрицателен: $\sin 200^{\circ} < 0$. Угол $130^{\circ}$ находится во II четверти, где синус положителен: $\sin 130^{\circ} > 0$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $\sin 200^{\circ} < \sin 130^{\circ}$.
Ответ: $\sin 200^{\circ} < \sin(-230^{\circ})$.

в) Сравним $\cos 79^{\circ}$ и $\sin 337^{\circ}$. Определим знаки тригонометрических функций. Угол $79^{\circ}$ находится в I четверти, где косинус положителен: $\cos 79^{\circ} > 0$. Угол $337^{\circ}$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Это можно увидеть, применив формулу приведения: $\sin 337^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 23^{\circ}) = -\sin 23^{\circ}$. Так как $\sin 23^{\circ} > 0$, то $\sin 337^{\circ} < 0$. Сравнивая положительное число $\cos 79^{\circ}$ и отрицательное $\sin 337^{\circ}$, заключаем, что $\cos 79^{\circ} > \sin 337^{\circ}$.
Ответ: $\cos 79^{\circ} > \sin 337^{\circ}$.

г) Сравним $\cos\frac{17\pi}{19}$ и $\cos\frac{39\pi}{19}$. Упростим аргумент второго выражения, выделив целую часть из неправильной дроби $\frac{39}{19}$: $\frac{39\pi}{19} = \frac{(38+1)\pi}{19} = \frac{38\pi}{19} + \frac{\pi}{19} = 2\pi + \frac{\pi}{19}$. В дроби $\frac{39}{19}$ целая часть равна 2. Используя периодичность функции косинуса (период $2\pi$), получаем: $\cos\frac{39\pi}{19} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{19}) = \cos\frac{\pi}{19}$. Теперь задача сводится к сравнению $\cos\frac{17\pi}{19}$ и $\cos\frac{\pi}{19}$. Угол $\frac{\pi}{19}$ находится в I четверти ($0 < \frac{\pi}{19} < \frac{\pi}{2}$), следовательно, $\cos\frac{\pi}{19} > 0$. Угол $\frac{17\pi}{19}$ находится во II четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{17\pi}{19} < \pi$), следовательно, $\cos\frac{17\pi}{19} < 0$. Отрицательное число меньше положительного.
Ответ: $\cos\frac{17\pi}{19} < \cos\frac{39\pi}{19}$.

д) Сравним $\cos 3^{\circ}$ и $\cos 3$. Аргумент первого выражения задан в градусах, второго — в радианах. Переведем радианы в градусы, используя соотношение $\pi \text{ рад} = 180^{\circ}$. $1 \text{ рад} = \frac{180^{\circ}}{\pi} \approx \frac{180^{\circ}}{3.14159} \approx 57.3^{\circ}$. Тогда $3 \text{ рад} \approx 3 \times 57.3^{\circ} = 171.9^{\circ}$. Теперь сравним $\cos 3^{\circ}$ и $\cos 171.9^{\circ}$. Угол $3^{\circ}$ находится в I четверти, где косинус положителен: $\cos 3^{\circ} > 0$. Угол $171.9^{\circ}$ находится во II четверти, где косинус отрицателен: $\cos 171.9^{\circ} < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $\cos 3^{\circ} > \cos 3$.

е) Сравним $\cos 6,4$ и $\sin 4,9$. Аргументы заданы в радианах. Определим, в каких четвертях находятся углы, используя приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$. Для $\cos 6,4$: угол $6.4$ радиан больше, чем $2\pi \approx 6.28$. $6.4 - 2\pi \approx 6.4 - 6.28 = 0.12$. Этот угол находится в I четверти ($0 < 0.12 < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен. Значит, $\cos 6,4 > 0$. Для $\sin 4,9$: так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 4.9 < 2\pi \approx 6.28$, угол $4.9$ радиан находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, $\sin 4,9 < 0$. Сравнивая положительное число $\cos 6,4$ и отрицательное $\sin 4,9$, получаем.
Ответ: $\cos 6,4 > \sin 4,9$.