Номер 7.11, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

а) $3\sin\alpha + 8$;

б) $5 - 2\cos\alpha$;

в) $4\sin^2\alpha - 1$;

г) $2\cos^4\alpha + 9$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражений мы будем использовать свойство ограниченности тригонометрических функций синуса и косинуса. Область значений для этих функций лежит в отрезке $[-1, 1]$.

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения выражения $3\sin\alpha + 8$.

Мы знаем, что область значений функции синус: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на 3 (знаки неравенства не меняются, так как 3 > 0):

$3 \cdot (-1) \le 3\sin\alpha \le 3 \cdot 1$

$-3 \le 3\sin\alpha \le 3$

Теперь прибавим 8 ко всем частям неравенства:

$-3 + 8 \le 3\sin\alpha + 8 \le 3 + 8$

$5 \le 3\sin\alpha + 8 \le 11$

Следовательно, наименьшее значение выражения равно 5 (достигается при $\sin\alpha = -1$), а наибольшее значение равно 11 (достигается при $\sin\alpha = 1$).

Ответ: Наименьшее значение: 5, наибольшее значение: 11.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения выражения $5 - 2\cos\alpha$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-2) \cdot (-1) \ge -2\cos\alpha \ge (-2) \cdot 1$

$2 \ge -2\cos\alpha \ge -2$

Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-2 \le -2\cos\alpha \le 2$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$5 - 2 \le 5 - 2\cos\alpha \le 5 + 2$

$3 \le 5 - 2\cos\alpha \le 7$

Наименьшее значение выражения равно 3 (достигается при $\cos\alpha = 1$), а наибольшее значение равно 7 (достигается при $\cos\alpha = -1$).

Ответ: Наименьшее значение: 3, наибольшее значение: 7.

в) Найдем наибольшее и наименьшее значения выражения $4\sin^2\alpha - 1$.

Так как $-1 \le \sin\alpha \le 1$, то при возведении в квадрат значения будут неотрицательными. Таким образом, область значений для синуса в квадрате: $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.

Умножим все части неравенства на 4:

$4 \cdot 0 \le 4\sin^2\alpha \le 4 \cdot 1$

$0 \le 4\sin^2\alpha \le 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$0 - 1 \le 4\sin^2\alpha - 1 \le 4 - 1$

$-1 \le 4\sin^2\alpha - 1 \le 3$

Наименьшее значение выражения равно -1 (достигается при $\sin^2\alpha = 0$, т.е. $\sin\alpha = 0$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\sin^2\alpha = 1$, т.е. $\sin\alpha = \pm1$).

Ответ: Наименьшее значение: -1, наибольшее значение: 3.

г) Найдем наибольшее и наименьшее значения выражения $2\cos^4\alpha + 9$.

По аналогии с предыдущим пунктом, так как $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то $0 \le \cos^2\alpha \le 1$. Возводя в квадрат еще раз, получаем область значений для косинуса в четвертой степени: $0 \le \cos^4\alpha \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2:

$2 \cdot 0 \le 2\cos^4\alpha \le 2 \cdot 1$

$0 \le 2\cos^4\alpha \le 2$

Прибавим 9 ко всем частям неравенства:

$0 + 9 \le 2\cos^4\alpha + 9 \le 2 + 9$

$9 \le 2\cos^4\alpha + 9 \le 11$

Наименьшее значение выражения равно 9 (достигается при $\cos^4\alpha = 0$, т.е. $\cos\alpha = 0$), а наибольшее значение равно 11 (достигается при $\cos^4\alpha = 1$, т.е. $\cos\alpha = \pm1$).

Ответ: Наименьшее значение: 9, наибольшее значение: 11.