Номер 7.7, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.7. Верно ли, что:

а) $ \cos(45\pi) = \cos(-\pi) $;

б) $ \sin(38.5\pi) = \sin(-0.5\pi) $?

а) Проверим, верно ли равенство $ \cos(45\pi) = \cos(-\pi) $. Для этого проанализируем обе части равенства, используя свойства тригонометрических функций.

Левая часть: $ \cos(45\pi) $

Функция косинус является периодической с наименьшим положительным периодом $ T = 2\pi $. Это означает, что $ \cos(x + 2\pi k) = \cos(x) $ для любого целого числа $ k $. Мы можем отбросить из аргумента функции целое число периодов.

Представим $ 45\pi $ в виде: $ 45\pi = 44\pi + \pi = 22 \cdot 2\pi + \pi $

Применяя свойство периодичности, получаем: $ \cos(45\pi) = \cos(\pi + 22 \cdot 2\pi) = \cos(\pi) = -1 $

Правая часть: $ \cos(-\pi) $

Функция косинус является четной, что означает $ \cos(-x) = \cos(x) $ для любого $ x $.

Применяя это свойство, получаем: $ \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1 $

Сравнивая значения левой и правой частей, видим, что они равны: $ -1 = -1 $. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Да.

б) Проверим, верно ли равенство $ \sin(38,5\pi) = \sin(-0,5\pi) $. Для этого также проанализируем обе части равенства.

Левая часть: $ \sin(38,5\pi) $

Функция синус, как и косинус, является периодической с периодом $ T = 2\pi $ ($ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $).

Представим $ 38,5\pi $ в виде: $ 38,5\pi = 38\pi + 0,5\pi = 19 \cdot 2\pi + 0,5\pi $

Применяя свойство периодичности, получаем: $ \sin(38,5\pi) = \sin(0,5\pi + 19 \cdot 2\pi) = \sin(0,5\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

Правая часть: $ \sin(-0,5\pi) $

Функция синус является нечетной, что означает $ \sin(-x) = -\sin(x) $ для любого $ x $.

Применяя это свойство, получаем: $ \sin(-0,5\pi) = -\sin(0,5\pi) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1 $

Сравнивая значения левой и правой частей, видим, что они не равны: $ 1 \neq -1 $. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: Нет.