Номер 7.5, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.5. Найдите значение выражения $\frac{\sin 4\alpha - \cos 4\alpha}{\sin(\alpha + \frac{\pi}{24}) + 3\sin 12\alpha}$ при $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Чтобы найти значение выражения, необходимо подставить значение $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ в числитель и знаменатель дроби.

1. Вычисление числителя: $ \sin(4\alpha) - \cos(4\alpha) $

Подставляем $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ в аргумент тригонометрических функций:

$ 4\alpha = 4 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} $

Теперь вычисляем значение числителя:

$ \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1 $

2. Вычисление знаменателя: $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{24}) + 3\sin(12\alpha) $

Вычислим каждое слагаемое в знаменателе по отдельности.

• Первое слагаемое: $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{24}) $

  Подставляем $ \alpha = \frac{\pi}{8} $:

  $ \alpha + \frac{\pi}{24} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{24} = \frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} $

  Значение первого слагаемого:

  $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $

• Второе слагаемое: $ 3\sin(12\alpha) $

  Подставляем $ \alpha = \frac{\pi}{8} $:

  $ 12\alpha = 12 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{12\pi}{8} = \frac{3\pi}{2} $

  Значение второго слагаемого:

  $ 3\sin(12\alpha) = 3 \cdot \sin(\frac{3\pi}{2}) = 3 \cdot (-1) = -3 $

Теперь найдем значение всего знаменателя, сложив значения слагаемых:

$ \frac{1}{2} + (-3) = \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2} $

3. Вычисление итогового значения выражения

Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$ \frac{1}{-\frac{5}{2}} = 1 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{2}{5} $

Полученная дробь $ -\frac{2}{5} $ является правильной, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $ -\frac{2}{5} $