Номер 6.16, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.16. В каждой строке одно из чисел — лишнее, найдите его и объясните почему:

а) $\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2};$

б) $\frac{\pi}{3}; \frac{14\pi}{3}; -\frac{8\pi}{6}; \frac{10\pi}{3};$

в) $\frac{7\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}; -\frac{9\pi}{4}; -\frac{19\pi}{4};$

г) $\pi; -\pi; 3\pi; 0.$

а) В ряду чисел $\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$ три числа ($\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$) являются углами, котерминальными друг другу. Все они задают одну и ту же точку на единичной окружности, лежащую на отрицательной полуоси OY. Это можно проверить, представив каждое число в виде $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для целого $k$:

• $\frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi$
• $-\frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0$
• $-\frac{5\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - 2\pi$

Число $\frac{9\pi}{2}$ является лишним, так как $\frac{9\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 4\pi$. Этот угол соответствует точке на положительной полуоси OY. Ответ: $\frac{9\pi}{2} = \textbf{4}\frac{1}{2}\pi$.

б) В ряду чисел $\frac{\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}, -\frac{8\pi}{6}, \frac{10\pi}{3}$ сначала упростим дробь $-\frac{8\pi}{6} = -\frac{4\pi}{3}$. Теперь рассмотрим, в какой полуплоскости лежат точки, соответствующие этим углам. Это определяется знаком их косинуса.

• $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} > 0$ (точка в правой полуплоскости)
• $\cos(\frac{14\pi}{3}) = \cos(4\pi + \frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} < 0$ (точка в левой полуплоскости)
• $\cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} < 0$ (точка в левой полуплоскости)
• $\cos(\frac{10\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} < 0$ (точка в левой полуплоскости)

Таким образом, три числа соответствуют точкам в левой полуплоскости, а одно число $\frac{\pi}{3}$ — в правой. Оно и является лишним. Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

в) В ряду чисел $\frac{7\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, -\frac{9\pi}{4}, -\frac{19\pi}{4}$ три числа ($\frac{7\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, -\frac{9\pi}{4}$) являются котерминальными. Они задают одну и ту же точку в IV четверти единичной окружности.

• $\frac{7\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi$
• $-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0$
• $-\frac{9\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} - 2\pi$

Число $-\frac{19\pi}{4}$ является лишним. $\frac{-19\pi}{4} = \frac{-16\pi-3\pi}{4} = -4\pi - \frac{3\pi}{4}$. Этот угол котерминален углу $-\frac{3\pi}{4}$ (или $\frac{5\pi}{4}$) и задает точку в III четверти. Ответ: $-\frac{19\pi}{4} = -\textbf{4}\frac{3}{4}\pi$.

г) В ряду чисел $\pi, -\pi, 3\pi, 0$ три числа ($\pi, -\pi, 3\pi$) являются нечетными кратными $\pi$. Все они котерминальны и соответствуют точке $(-1, 0)$ на единичной окружности (отрицательная полуось OX).

• $\pi = \pi + 2\pi \cdot 0$
• $-\pi = \pi - 2\pi$
• $3\pi = \pi + 2\pi$

Число $0$ является четным кратным $\pi$ ($0=0\cdot\pi$) и соответствует точке $(1, 0)$ (положительная полуось OX). Следовательно, $0$ — лишнее число. Ответ: $0$.