Номер 7.1, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.1. Найдите значение выражения:

а) $ \cos 270^\circ + \sin 180^\circ; $

б) $ \sin 90^\circ - 4 \cos 0^\circ; $

в) $ \cos (-360^\circ) - \sin 180^\circ; $

г) $ \sin (-270^\circ) - 3 \sin (-450^\circ); $

д) $ -\sin 810^\circ + 3 \cos 180^\circ; $

е) $ 6 \sin 0^\circ - 9 \cos (-540^\circ); $

ж) $ \cos 720^\circ \cdot \cos 60^\circ - \sin 30^\circ; $

з) $ 3 \cos (-450^\circ) + \sin^2 45^\circ. $

а) $\cos270^\circ + \sin180^\circ$
Для решения используем значения тригонометрических функций на координатной окружности: $\cos270^\circ = 0$ и $\sin180^\circ = 0$.
Складываем значения:
$0 + 0 = 0$
Ответ: 0

б) $\sin90^\circ - 4\cos0^\circ$
Используем табличные значения: $\sin90^\circ = 1$ и $\cos0^\circ = 1$.
Подставляем в выражение:
$1 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$
Ответ: -3

в) $\cos(-360^\circ) - \sin180^\circ$
Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-360^\circ) = \cos(360^\circ)$.
Функция косинуса периодична с периодом $360^\circ$, поэтому $\cos(360^\circ) = \cos(0^\circ) = 1$.
Значение синуса: $\sin180^\circ = 0$.
Выполняем вычитание:
$1 - 0 = 1$
Ответ: 1

г) $\sin(-270^\circ) - 3\sin(-450^\circ)$
Синус — нечетная функция, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-270^\circ) = -\sin(270^\circ) = -(-1) = 1$.
$\sin(-450^\circ) = -\sin(450^\circ)$.
Используем периодичность синуса: $450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$.
$\sin(450^\circ) = \sin(360^\circ + 90^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$.
Значит, $\sin(-450^\circ) = -1$.
Подставляем найденные значения в выражение:
$1 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4$
Ответ: 4

д) $-\sin810^\circ + 3\cos180^\circ$
Упростим $\sin810^\circ$ с помощью периодичности ($810^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 90^\circ$):
$\sin(810^\circ) = \sin(2 \cdot 360^\circ + 90^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$.
Значение косинуса: $\cos180^\circ = -1$.
Подставляем в выражение:
$-(1) + 3 \cdot (-1) = -1 - 3 = -4$
Ответ: -4

е) $6\sin0^\circ - 9\cos(-540^\circ)$
Значение синуса: $\sin0^\circ = 0$.
Упростим $\cos(-540^\circ)$. Используем четность: $\cos(-540^\circ) = \cos(540^\circ)$.
Используем периодичность ($540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$):
$\cos(540^\circ) = \cos(360^\circ + 180^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$.
Подставляем значения:
$6 \cdot 0 - 9 \cdot (-1) = 0 + 9 = 9$
Ответ: 9

ж) $\cos720^\circ \cdot \cos60^\circ - \sin30^\circ$
Упростим $\cos720^\circ$ с помощью периодичности ($720^\circ = 2 \cdot 360^\circ$):
$\cos(720^\circ) = \cos(0^\circ) = 1$.
Используем табличные значения: $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$.
Выполняем вычисления:
$1 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
Ответ: 0

з) $3\cos(-450^\circ) + \sin^2 45^\circ$
Упростим $\cos(-450^\circ)$. Используем четность: $\cos(-450^\circ) = \cos(450^\circ)$.
Используем периодичность ($450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$):
$\cos(450^\circ) = \cos(360^\circ + 90^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$.
Найдем значение $\sin^2 45^\circ$:
$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения в выражение:
$3 \cdot 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$