Номер 6.13, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.13. Запишите все углы $ \alpha $, соответствующие точке единичной окружности, абсцисса которой равна:

а) $ \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ 0 $;

в) $ -\frac{1}{2} $;

г) $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Для точки на единичной окружности, соответствующей углу $α$, ее абсцисса (координата по оси x) равна косинусу этого угла, то есть $x = \cos(α)$. Чтобы найти все углы $α$, нам необходимо решить тригонометрическое уравнение $\cos(α) = x$ для каждого заданного значения абсциссы.

а) Дана абсцисса $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решаем уравнение $\cos(α) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения записывается в виде $α = ±\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2πk$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ ℤ$).
Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{6}$, получаем:Ответ: $α = ±\frac{π}{6} + 2πk, k ∈ ℤ$.

б) Дана абсцисса $x = 0$.
Решаем уравнение $\cos(α) = 0$.
Это частный случай, решениями которого являются углы, соответствующие точкам на оси ординат (верхняя и нижняя точки единичной окружности). Эти углы можно описать одной формулой:Ответ: $α = \frac{π}{2} + πk, k ∈ ℤ$.

в) Дана абсцисса $x = -\frac{1}{2}$.
Решаем уравнение $\cos(α) = -\frac{1}{2}$.
Общее решение: $α = ±\arccos(-\frac{1}{2}) + 2πk, k ∈ ℤ$.
Находим арккосинус: $\arccos(-\frac{1}{2}) = π - \arccos(\frac{1}{2}) = π - \frac{π}{3} = \frac{2π}{3}$.
Таким образом, мы имеем две серии решений: $α = \frac{2π}{3} + 2πk$ и $α = -\frac{2π}{3} + 2πk$.
Для второй серии найдем наименьший положительный угол: $-\frac{2π}{3} + 2π = \frac{4π}{3}$.
Дробь $\frac{4}{3}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Получаем две серии углов:Ответ: $α = \frac{2π}{3} + 2πk$ и $α = \boldsymbol{1}\frac{1}{3}π + 2πk, k ∈ ℤ$.

г) Дана абсцисса $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решаем уравнение $\cos(α) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение: $α = ±\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2πk, k ∈ ℤ$.
Находим арккосинус: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = π - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = π - \frac{π}{4} = \frac{3π}{4}$.
Таким образом, мы имеем две серии решений: $α = \frac{3π}{4} + 2πk$ и $α = -\frac{3π}{4} + 2πk$.
Для второй серии найдем наименьший положительный угол: $-\frac{3π}{4} + 2π = \frac{5π}{4}$.
Дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Получаем две серии углов:Ответ: $α = \frac{3π}{4} + 2πk$ и $α = \boldsymbol{1}\frac{1}{4}π + 2πk, k ∈ ℤ$.