Номер 6.7, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.7. Определите, углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

a) $\alpha = 1081^{\circ}$;

б) $\alpha = -469^{\circ}$;

в) $\alpha = \frac{19\pi}{10}$;

г) $\alpha = -\frac{13\pi}{6}$;

д) $\alpha = 3$;

е) $\alpha = -5$.

Для определения четверти, в которой находится угол, необходимо привести его к значению в диапазоне от $0°$ до $360°$ (для градусов) или от $0$ до $2\pi$ (для радиан). Это достигается путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($k \cdot 360°$ или $k \cdot 2\pi$, где $k$ — целое число).

Границы координатных четвертей:

• I четверть: от $0°$ до $90°$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$)
• II четверть: от $90°$ до $180°$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$)
• III четверть: от $180°$ до $270°$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$)
• IV четверть: от $270°$ до $360°$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$)

а) $\alpha = 1081°$
Чтобы найти основной угол, вычтем из $1081°$ максимально возможное число полных оборотов по $360°$.
$1081° = 3 \cdot 360° + 1° = 1080° + 1°$.
Остаток равен $1°$.
Так как $0° < 1° < 90°$, угол принадлежит I четверти.
Ответ: I четверть.

б) $\alpha = -469°$
К отрицательному углу нужно прибавить полные обороты, чтобы получить положительный угол в диапазоне $[0°; 360°)$.
$-469° + 2 \cdot 360° = -469° + 720° = 251°$.
Полученный угол $251°$.
Так как $180° < 251° < 270°$, угол принадлежит III четверти.
Ответ: III четверть.

в) $\alpha = \frac{19\pi}{10}$
Угол задан в радианах. Это неправильная дробь, которую можно представить в виде смешанного числа: $\alpha = \frac{19\pi}{10} = \mathbf{1}\frac{9}{10}\pi = 1.9\pi$.
Сравним это значение с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2} = 1.5\pi$ и $2\pi$.
Неравенство $1.5\pi < 1.9\pi < 2\pi$ (или $\frac{3\pi}{2} < \frac{19\pi}{10} < 2\pi$) показывает, что угол принадлежит IV четверти.
Ответ: IV четверть.

г) $\alpha = -\frac{13\pi}{6}$
Угол отрицательный, задан в радианах. Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\alpha = -\frac{13\pi}{6} = -\mathbf{2}\frac{1}{6}\pi$.
Чтобы получить эквивалентный положительный угол, прибавим $2 \cdot 2\pi = 4\pi$.
$\alpha' = -\frac{13\pi}{6} + 4\pi = -\frac{13\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Сравним полученный угол с границами: $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.
Неравенство $\frac{9\pi}{6} < \frac{11\pi}{6} < \frac{12\pi}{6}$ (или $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$) показывает, что угол принадлежит IV четверти.
Ответ: IV четверть.

д) $\alpha = 3$
Угол задан в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.
Границы четвертей: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.
Так как $1.57 < 3 < 3.14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, угол принадлежит II четверти.
Ответ: II четверть.

е) $\alpha = -5$
Угол отрицательный, задан в радианах. Прибавим $2\pi$, чтобы получить эквивалентный положительный угол. Используем $\pi \approx 3.14159$.
$\alpha' = -5 + 2\pi \approx -5 + 2 \cdot 3.14159 = -5 + 6.28318 = 1.28318$.
Граница I и II четвертей: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Так как $0 < 1.28318 < 1.57$, то есть $0 < -5 + 2\pi < \frac{\pi}{2}$, угол принадлежит I четверти.
Ответ: I четверть.