Номер 6.8, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.8. Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол:

a) $90^\circ; -180^\circ; 540^\circ; -270^\circ; 450^\circ; -720^\circ;$

б) $\pi; -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; -7\pi; 2,5\pi; -5,5\pi.$

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, вычисляются по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Положительные углы соответствуют повороту против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Также учтём, что тригонометрические функции являются периодическими с периодом $360°$ (или $2\pi$ радиан), т.е. поворот на угол $\alpha$ даёт ту же точку, что и поворот на угол $\alpha + 360° \cdot k$ (или $\alpha + 2\pi \cdot k$), где $k$ — любое целое число.

Вычислим координаты для углов, заданных в градусах:

• Для угла 90°: Координаты точки $(\cos(90°), \sin(90°)) = (0, 1)$.

• Для угла -180°: Координаты точки $(\cos(-180°), \sin(-180°)) = (\cos(180°), -\sin(180°)) = (-1, 0)$.

• Для угла 540°: Упростим угол, выделив полные обороты: $540° = 360° + 180°$. Поворот эквивалентен повороту на $180°$. Координаты точки $(\cos(180°), \sin(180°)) = (-1, 0)$.

• Для угла -270°: Упростим угол, прибавив полный оборот: $-270° + 360° = 90°$. Поворот эквивалентен повороту на $90°$. Координаты точки $(\cos(90°), \sin(90°)) = (0, 1)$.

• Для угла 450°: Упростим угол: $450° = 360° + 90°$. Поворот эквивалентен повороту на $90°$. Координаты точки $(\cos(90°), \sin(90°)) = (0, 1)$.

• Для угла -720°: Упростим угол: $-720° = -2 \cdot 360°$. Поворот эквивалентен повороту на $0°$, то есть точка не меняет своего положения. Координаты точки $(\cos(0°), \sin(0°)) = (1, 0)$.

Ответ:
Для 90°: (0; 1)
Для -180°: (-1; 0)
Для 540°: (-1; 0)
Для -270°: (0; 1)
Для 450°: (0; 1)
Для -720°: (1; 0)

Вычислим координаты для углов, заданных в радианах:

• Для угла $\pi$: Координаты точки $(\cos(\pi), \sin(\pi)) = (-1, 0)$.

• Для угла $-\frac{\pi}{2}$: Координаты точки $(\cos(-\frac{\pi}{2}), \sin(-\frac{\pi}{2})) = (\cos(\frac{\pi}{2}), -\sin(\frac{\pi}{2})) = (0, -1)$.

• Для угла $\frac{3\pi}{2}$: Координаты точки $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$.

• Для угла $-7\pi$: Упростим угол: $-7\pi = -6\pi - \pi = -3 \cdot 2\pi - \pi$. Поворот эквивалентен повороту на $-\pi$ или $\pi$. Координаты точки $(\cos(\pi), \sin(\pi)) = (-1, 0)$.

• Для угла $2,5\pi$: Упростим угол: $2,5\pi = \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Поворот эквивалентен повороту на $\frac{\pi}{2}$. Координаты точки $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$.

• Для угла $-5,5\pi$: Упростим угол: $-5,5\pi = -\frac{11\pi}{2} = -6\pi + \frac{\pi}{2}$. Поворот эквивалентен повороту на $\frac{\pi}{2}$. Координаты точки $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$.

Ответ:
Для $\pi$: (-1; 0)
Для $-\frac{\pi}{2}$: (0; -1)
Для $\frac{3\pi}{2}$: (0; -1)
Для $-7\pi$: (-1; 0)
Для $2,5\pi$: (0; 1)
Для $-5,5\pi$: (0; 1)