Номер 6.15, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.15. Сколько точек получится, если отметить на единичной окружности все точки, соответствующие углам вида $\frac{\pi n}{8}$, где $n$ - целое число?

Точки на единичной окружности задаются углами вида $\alpha_n = \frac{\pi n}{8}$, где $n$ — любое целое число.

Две точки на окружности, соответствующие углам $\alpha_1$ и $\alpha_2$, совпадают тогда и только тогда, когда их углы отличаются на целое число полных оборотов, то есть на $2\pi k$, где $k$ — целое число.

Найдем, при каких значениях $n_1$ и $n_2$ точки, соответствующие углам $\alpha_{n_1} = \frac{\pi n_1}{8}$ и $\alpha_{n_2} = \frac{\pi n_2}{8}$, будут совпадать. Для этого должно выполняться условие: $$ \frac{\pi n_1}{8} = \frac{\pi n_2}{8} + 2\pi k $$

Разделим обе части равенства на $\pi$: $$ \frac{n_1}{8} = \frac{n_2}{8} + 2k $$ Теперь умножим обе части на 8: $$ n_1 = n_2 + 16k $$ $$ n_1 - n_2 = 16k $$

Это означает, что точки на окружности совпадают, если соответствующие им целые числа $n$ отличаются на величину, кратную 16. Таким образом, чтобы найти количество различных точек, достаточно рассмотреть 16 последовательных целых значений $n$, например, от 0 до 15. Каждое из этих значений даст уникальную точку на окружности.

• При $n=0$, угол равен $0$.
• При $n=1$, угол равен $\frac{\pi}{8}$.
• ...
• При $n=15$, угол равен $\frac{15\pi}{8}$.

При $n=16$, угол равен $\frac{16\pi}{8} = 2\pi$, что соответствует той же точке, что и угол $0$ (при $n=0$). Таким образом, точки начинают циклически повторяться.

Следовательно, на единичной окружности получится ровно 16 различных точек. Эти точки являются вершинами правильного 16-угольника.

Ответ: 16.